On numbers satisfying Robin's inequality, properties of the next counterexample and improved specific bounds - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2019

On numbers satisfying Robin's inequality, properties of the next counterexample and improved specific bounds

Nombres vérifiant l'inégalité de Robin, propriétés du prochain contre-exemple et amélioration de bornes spécifiques

Résumé

Define s(n) := σ(n) /n (σ(n) = sum of divisors of n) and ω(n) is the number of prime divisors of n. One of the properties of s plays a central role: s(p^a) > s(q^b) if p < q are prime numbers, with no special condition on a, b other than a, b> 0. This result, combined with the Multiplicity Permutation theorem, will help us establish properties of the next counterexample (say c) to Robin's inequality s(n) < e^γ log log n. The number c is superabundant, and ω(c) must be greater than a number close to one billion. In addition, the ratio p_ω(c) / log c has a lower and upper bound. At most ω(c)/14 multiplicity parameters are greater than 1. Last but not least we apply simple methods to sharpen Robin's inequality for various categories of numbers.
Soient s (n) = σ(n)/n (σ(n) = somme des diviseurs de n) et ω(n) le nombre de diviseurs premiers de n. Une des proprétés de la fonction s joue un rôle central: s(p^a) > s (q^b) si p < q sont des nombres premiers, sans qu'aucune condition spéciale sur a, b ne soit requise, autre que a, b > 0. Ce résultat combiné avec le théorème de Permutation des Multiplicités s'avère suffisant pour identifier quelques propriétés du prochain contre-exemple (appelons le c) à l'inégalité de Robin s (n) < e^γ \log \log n. Le nombre c est superabondant, et nécessite un nombre minimum de facteurs premiers proche du milliard. A cela s'ajoutent des bornes inférieure et supérieure au quotient p_ω(c) / \log c. Le nombre de multiplicités supérieures à 1 ne dépasse pas ω(c)/14. En dernier lieu, nous appliquons des méthodes très simples à la fonction s afin d'améiorer l'inégalité de Robin en fonction de diverses catégories de nombres.
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Dates et versions

hal-02085868 , version 1 (31-03-2019)
hal-02085868 , version 2 (18-05-2020)

Identifiants

  • HAL Id : hal-02085868 , version 1

Citer

Robert Vojak. On numbers satisfying Robin's inequality, properties of the next counterexample and improved specific bounds. 2019. ⟨hal-02085868v1⟩
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