Branching-stable point measures and processes
Mesures et processus de points stables
Résumé
We introduce and study the class of branching-stable point measures, which can be seen as an analog of stable random variables when the branching mechanism for point measures replaces the usual addition. In contrast with the classical theory of stable (Lévy) processes, there exists a rich family of branching-stable point measures with negative scaling exponent , which can be described as certain Crump-Mode-Jagers branching processes. We investigate the asymptotic behavior of their cumulative distribution functions, that is, the number of atoms in (−∞, x] as x → ∞, and further depict the genealogical lineage of typical atoms. For both results, we rely crucially on the work of Biggins.
Nous introduisons et étudions la classe des mesures ponctuelles stables pour le branchement, qui est un analogue de la classe des variables aléatoires réelles stables, où l'addition est replacée par le mécanisme de branchement des marches aléatoires branchantes. Contrairement à la théorie classique des processus de Lévy stables, il existe une riche famille de mesures ponctuelles stables pour le branchement avec un exposant de scaling négatif. Ces mesures ponctuelles peuvent être décrites comme un certain processus de branchement de Crump-Mode-Jagers. On s'intéresse au comportement asymptotique de la fonction de répartition, i.e. le nombre d'atomes de l'intervalle (-\infty, x], quand x → ∞. On décrie également les relations généalogiques pour des atomes typiques. Ces deux résultats sont en grande partie dûs au travail de Biggins.
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