Invariance par retour d'état sur le demi-anneau max-plus
Résumé
Controlled invariance is a fundamental concept for the design of control laws for linear systems subject to specifications that are given in terms of a vector space. Following a lot of recent publications, we treat the extension of this method to max-plus linear systems. We establish the statement that in this case too, controlled invariance is equivalent to feedback invariance. This reinforces in some sense the connexion between invariance and control design for a class of timed discrete event systems. Unlike the case of linear systems over the real field, the feedback that makes invariant a controlled invariant semimodule for the closed-loop system is nonlinear, in general. This leads to effective design methods, using the known methods for the computation of solutions to linear equations in the max-plus algebra. These methods are recalled. Another difference with the case of systems over a field is that the causality of a feedback should be checked, to permit its implementation. We define the concept of causal controlled invariance, and give checkable conditions for a given module to have this property. This opens the way to the computation of optimal solutions to a number of control problems for such systems, which is illustrated on an example from the literature.
Le concept d'invariance contrôlée est fondamental pour la conception de lois de commande pour les systèmes linéaires soumis à des contraintes définies en termes d'espaces vectoriels. Nous traitons ici de l'extension de cette méthode au cas de systèmes max-plus linéaires, suivant en cela de nom-breuses publications récentes. Nous montrons que, dans ce cas également, l'invariance contrôlée équivaut à l'invariance par retour d'état statique. Cela renforce la connexion, qui avait déjà été notée, entre le concept d'invariance et la conception de lois de commande, pour une classe de réseaux de Petri temporisés. Contrairement au cas de systèmes sur un corps, le retour d'état qui rend invariant un demi-module invariant contrôlé n'est pas linéaire, en général. Par contre un tel retour d'état est calculable, en utilisant les solutions connues de systèmes d'équations linéaires dans l'algèbre max-plus. Une autre différence d'avec le cas de systèmes sur un corps est que la causalité du feedback doit être vérifiée, pour permettre sa mise en oeuvre. Nous définissons le concept d'invariance contrôlée causale, et donnons des conditions pour qu'un module donné ait cette propriété. Cela ouvre la voie au calcul de solutions optimales à nombre de problèmes de commande pour cette classe de systèmes. Nous l'illustrons sur un exemple tiré de la littérature.
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