Numerical approximations of McKean Anticipative Backward Stochastic Differential Equations arising in Initial Margin requirements
Résumé
We introduce a new class of anticipative backward stochastic differential equations with a dependence of McKean type on the law of the solution, that we name MKABSDE. We provide existence and uniqueness results in a general framework with relaxed regularity assumptions on the parameters. We show that such stochastic equations arise within the modern paradigm of derivative pricing where a central counterparty (CCP) demands each member to deposit variation and initial margins to cover their exposure. In the case when the initial margin is proportional to the Conditional Value-at-Risk (CVaR) of the contract price, we apply our general result to obtain existence and uniqueness of the price as a solution of a MKABSDE. We also provide several linear and non-linear approximations, which we solve using different numerical methods.
Nous introduisons une nouvelle famille d'équations différentielles stochastiques rétrogrades anticipatives ayant une dépendance par rapport à la loi de la solution, que nous appelons MKABSDE. Ces équations apparaissent dans le contexte moderne de la valorisation de dérivés en présence d'appels de marge de la part d'une chambre de compensation. Nous démontrons un résultat d'existence et unicité sous des hypothèses relativement faibles sur les coefficients de l'équation. Dans le cas oú les appels de marge sont proportionnels à la VaR conditionnelle (CVaR) du prix du contrat, notre résultat général entraîne l'existence et unicité pour le prix en tant que solution d'une MKABSDE. Nous considérons plusieurs approximations linéaires et non-linéaires de cette équation, que nous abordons avec différentes méthodes numériques.
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