Solution by convex minimization of the Cauchy problem for hyperbolic systems of conservation laws with convex entropy
Solution par minimisation convexe du probleme de Cauchy pour les systemes de lois de conservation avec entropie convexe
Résumé
We show that, for first-order systems of conservation laws with a strictly convex entropy,
in particular for the very simple so-called "inviscid" Burgers equation,
it is possible to address the Cauchy problem by a suitable convex minimization
problem, quite similar to some problems arising in optimal transport or variational mean-field game theory.
In the general case, we show that smooth, shock-free, solutions can be recovered
on some sufficiently small interval of time. In the special situation of the Burgers equation, we further
show that every "entropy solution" (in the sense of Kruzhkov)
including shocks, can be recovered, for arbitrarily long time intervals.
On montre que, pour les systemes du premier ordre de lois de conservation avec une entropie strictement convexe,
en particulier pour la tres simple equations de Burgers sans viscosite, il est possible d'attaquer le probleme de Cauchy
par un probleme de minimisation convexe approprie, assez semblable a un probleme de transport optimal ou de jeu
a champ moyen. Dans le cas general, on montre que les solutions lisses, sans choc, peuvent etre retrouvees sur des
intervalles de temps assez petits. Dans la situation particuliere de l'equation de Burgers, nous montrons de plus
que tout "solution entropique" (au sens de Kruzhkov), y compris avec choc, peut etre reconstituee, sur des intervalles
de temps arbitrairement longs.
Domaines
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