L'opérateur de Dirac sur les tenseurs et les principes d'unification.
Résumé
La question posée dans cet article est la suivante: " Peut-on décrire l'équation relativiste de Dirac et l'équation relativiste d'Einstein à partir d'un seul opérateur? " Pour répondre à cette question on définit la notion de section de Dirac sur un fibré vectoriel ζ. A partir d'une connexion de Koszul, on construit les opérateurs de Dirac de rang n >0 et leurs extensions aux fibrés ζ p,q = ζ * ⊗p ⊗ ζ ⊗q. Ces extensions permettent de définir les équations de Dirac de rang n. On applique les résultats obtenus au fibré tangent de W, noté ξ W , et aux extensions sur ξ 2,0 W. On peut écrire, sous certaines conditions sur la section γ, l'équation relativiste d'Einstein sous la forme d'une équation de Dirac de rang 2. Si γ vérifie {γµ ,γν }=2gµνI4, l'équation de Dirac de rang 1 complexifiée décrit l'équation relativiste de Dirac. L'autre approche consiste à remarquer que l'opérateur de Dirac de rang 2 fait intervenir la courbure de la connexion ∇ sous la forme H2=γ2 ⊗R^∇ si on fait l'hypothèse sur les commutateurs [γµ,γν] = Hµν(λ), λ = − 1 2 R + Λ alors l'équation relativiste d'Einstein s'écrit sous forme d'opérateurs H2=κT .
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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