A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities
Résumé
A multiscale numerical method is proposed for the solution of semi-linear elliptic stochastic partial differential equations with localized uncertainties and non-linearities, the uncertainties being modeled by a set of random parameters. It relies on a domain decomposition method which introduces several subdomains of interest (called patches) containing the different sources of uncertainties and non-linearities. An iterative algorithm is then introduced, which requires the solution of a sequence of linear global problems (with deterministic operators and uncertain right-hand sides), and non-linear local problems (with uncertain operators and/or right-hand sides) over the patches. Non-linear local problems are solved using an adaptive sampling-based least-squares method for the construction of sparse polynomial approximations of local solutions as functions of the random parameters. Consistency, convergence and robustness of the algorithm are proved under general assumptions on the semi-linear elliptic operator. A convergence acceleration technique (Aitken's dynamic relaxation) is also introduced to speed up the convergence of the algorithm. The performances of the proposed method are illustrated through numerical experiments carried out on a stationary non-linear diffusion-reaction problem.
Une méthode numérique multi-échelle est proposée pour la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques elliptiques semi-linéaires avec incertitudes et non-linéarités localisées en espace, où les incertitudes sont modélisées par un ensemble de paramètres aléatoires. Elle repose sur une méthode de décomposition de domaine qui introduit des sous-domaines d'intérêt (appelés patchs) contenant les différentes sources d'incertitudes et non-linéarités. Un algorithme itératif est ensuite proposé. Il demande la résolution successive de problèmes globaux linéaires (avec opérateurs déterministes et seconds membres incertains) et de problèmes locaux non-linéaires (avec opérateurs et/ou seconds membres incertains) définis sur les patchs. Les problèmes locaux non-linéaires sont résolus à l'aide d'une méthode des moindres carrés adaptative pour la construction d'approximations polynomiales creuses des solutions locales en fonction des paramètres aléatoires. Des résultats de consistance, convergence et robustesse de l'algorithme sont obtenus sous des hypothèses générales sur l'opérateur elliptique semi-linéaire. Une technique d'accélération de convergence (relaxation dynamique d'Aitken) est également introduite pour améliorer la convergence de l'algorithme. Les performances de la méthode proposée sont illustrées à travers des expériences numériques sur un problème de diffusion-réaction non-linéaire stationnaire.
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