Discrete geometry on irregular isothetic grids
Géométrie discrète sur grilles irrégulières isothétiques
Résumé
The systems that perform the acquisition of two or three (2-D or 3-D) dimensional images usually provide data structured on a regular grid, also called discrete data. Those discrete objects are now efficiently handled: for measure extraction or visualization, discrete geometry defines geometrical and mathematical tools for many applications.In this PhD thesis, our goal is to adapt algorithms developped in discrete geometry to irregular isothetic grids. This generic grid model allows to represent the image structures based on pixels or voxels with variable position and size (or cells): anisotropic grids, commonly used in medical imagery, hierarchical decompositions like quadtree/octree, the compression methods like the run length encoding, etc. We propose to extend two methodologies, widely studied for discrete shape analysis, to this representation: the reconstruction of complex binary objects and distance transformation. To process the topological and geometrical reconstruction of irregular objetcs, we build the irregular discrete Reeb graph, that sums up the shape of the input object. Then, we compute and exact polygonal structure. Those two representations can be quickely updated, when a cell of the object is refined, or when several cells are grouped together. We propose two applications of our system: the distinction of ambiguous characters in a software for licence plate recognition, and planar implicit curve approximation. The distance transformation of a regular image may be computed with many algorithms, their common point is generally that they build the discrete Voronoi diagram. In this PhD thesis, we study the computation of this decomposition on irregular isothetic grids and we propose an optimal and linear algorithm (in respect to the number of cells in the grid) in 2-D. We have also developed two algorithms extensible to ndimensions, which complexity (time et space) principally depends on the irregularity of the input grid.
Les systèmes d’acquisition de données image en deux ou trois dimensions (2-D ou 3-D) fournissent généralement des données organisées sur une grille régulière, appelées données discrètes. Que ce soit pour la visualisation ou l’extraction de mesures, la géométrie discrète définit les outils mathématiques et géométriques pour de nombreuses applications.Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’adaptation des algorithmes de la géométrie discrète aux grilles irrégulières isothétiques. Ce modèle de grille permet de représenter de manière générique les structurations d’images en pixels ou voxels de taille et de position variable (ou cellules) : les grilles anisotropes, très répandues en imagerie médicale, les décompositions hiérarchiques telles que quadtree/octree, les techniques de compression comme le run length encoding, etc. Nous proposons d’étendre deux méthodologies largement étudiées pour analyser les formes discrètes à cette représentation : la reconstructiond’objets binaires complexes et la transformée en distance. Pour réaliser la reconstruction topologique et géométrique d’objets irréguliers, nous construisons le graphe de Reeb discret irrégulier, qui résume la forme de l’objet traité. Ensuite, nous calculons une structure polygonale exacte. Ces deux représentations peuvent être rapidement mises à jour, lors du raffinement d’une cellule de l’objet, ou quand plusieurs cellules sont groupées ensemble. Nous proposons deux applications de ce système : la distinction de caractères ambigus dans un outil de reconnaissance de plaques minéralogiques, et l’approximation de courbes implicites planaires.La transformée en distance d’une image régulière peut être calculée par de nombreux algorithmes, dont le point commun est généralement le calcul d’un diagramme de Voronoï discret. Dans cette thèse, nous étudions le calcul de cette décomposition sur grilles irrégulières isothétiques, et nous proposons un algorithme optimal linéaire (en le nombre de cellules de la grille) en 2-D. Nous avons également développé deux techniques extensibles à ndimensions, dont la complexité (temps et espace) dépend principalement de l’irrégularité de la grille traitée.