Universal geometric coefficients for the four-punctured sphere (Extended Abstract)
Résumé
We construct universal geometric coefficients for the cluster algebra associated to the four-punctured sphere and obtain, as a by-product, the $g$ -vectors of cluster variables. We also construct the rational part of the mutation fan. These constructions rely on a classification of the allowable curves (the curves which can appear in quasi-laminations). The classification allows us to prove the Null Tangle Property for the four-punctured sphere, thus adding this surface to a short list of surfaces for which this property is known. The Null Tangle Property then implies that the shear coordinates of allowable curves are the universal coefficients. We compute these shear coordinates to obtain universal geometric coefficients.
Nous construisons des coefficients géométriques universels pour l’algèbre amassée associée à la sphère privée de 4 points, et obtenons ce faisant les $g$-vecteurs des variables d’amas. Nous construisons aussi la partie rationnelle de l’éventail de mutation. Ces constructions reposent sur la classification des courbes admissibles (les courbes qui peuvent apparaître dans les quasi-laminations). Cette classification nous permet de prouver la “Null Tangle Property” pour la sphère privée de 4 points, ajoutant ainsi cette surface à la courte liste de surfaces pour lesquelles cette propriété est connue. La “Null Tangle Property” implique alors que les coordonnées de décalage des courbes admissibles sont les coefficients universels. Nous calculons ces coordonnées de décalage pour obtenir les coefficients géométriques universels.
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