Factoring peak polynomials - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Communication Dans Un Congrès Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Année : 2015

Factoring peak polynomials

Résumé

Given a permutation $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in S_n$, we say an index $i$ is a peak if $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$. Let $P(\pi)$ denote the set of peaks of $\pi$. Given any set $S$ of positive integers, define ${P_S(n)=\{\pi\in S_n:P(\pi)=S\}}$. Billey-Burdzy-Sagan showed that for all fixed subsets of positive integers $S$ and sufficiently large $n$, $|P_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$ for some polynomial $p_S(x)$ depending on $S$. They conjectured that the coefficients of $p_S(x)$ expanded in a binomial coefficient basis centered at $max(S)$ are all positive. We show that this is a consequence of a stronger conjecture that bounds the modulus of the roots of $p_S(x)$. Furthermore, we give an efficient explicit formula for peak polynomials in the binomial basis centered at $0$, which we use to identify many integer roots of peak polynomials along with certain inequalities and identities.
Etant donné une permutation $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in S_n$ du groupe symétrique, nous disons qu’un indice i est un sommet si $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$. Soit $P(\pi)$ l’ensemble des sommets de $\pi$. Billey-Burdzy-Sagan ont montré que, pour tout sous-ensemble d’entiers positifs S et n suffisamment grand, le nombre de permutations de $n$ éléments avec ensemble de sommets $S$ est $|P_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$ pour un certain polynôme $p_S(x)$ dépendant de $S$.. Ils ont fait la conjecture que les coefficients du polynôme $p_S(x)$ exprimé dans une base de coefficients binomiaux centrée en $max(S)$ sont tous positifs. Nous montrons que cela découle d’une conjecture plus forte qui borne le module des racines du polynôme $p_S(x)$. De plus, nous donnons une formule explicite efficace pour les polynômes sommets dans la base binomiale centrée en $0$, que nous utilisons pour identifier plusieurs racines entières de polynômes sommets, ainsi que certaines inégalités et identités.
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Dates et versions

hal-01337803 , version 1 (27-06-2016)

Licence

Paternité

Identifiants

Citer

Sara Billey, Matthew Fahrbach, Alan Talmage. Factoring peak polynomials. 27th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2015), Jul 2015, Daejeon, South Korea. pp.441-452, ⟨10.46298/dmtcs.2478⟩. ⟨hal-01337803⟩

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