The Bruhat order on conjugation-invariant sets of involutions in the symmetric group - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Communication Dans Un Congrès Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Année : 2015

The Bruhat order on conjugation-invariant sets of involutions in the symmetric group

Résumé

Let $I_n$ be the set of involutions in the symmetric group $S_n$, and for $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$, let \[ F_n^A=\{\sigma \in I_n \mid \text{$\sigma$ has $a$ fixed points for some $a \in A$}\}. \] We give a complete characterisation of the sets $A$ for which $F_n^A$, with the order induced by the Bruhat order on $S_n$, is a graded poset. In particular, we prove that $F_n^{\{1\}}$ (i.e., the set of involutions with exactly one fixed point) is graded, which settles a conjecture of Hultman in the affirmative. When $F_n^A$ is graded, we give its rank function. We also give a short new proof of the EL-shellability of $F_n^{\{0\}}$ (i.e., the set of fixed point-free involutions), which was recently proved by Can, Cherniavsky, and Twelbeck.
Soit $I_n$ l’ensemble d’involutions dans le groupe symétrique $S_n$, et pour $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$, soit \[ F_n^A=\{\sigma \in I_n \mid \text{$\sigma$ a $a$ points fixes pour quelque $a \in A$}\}. \] Nous caractérisons tous les ensembles $A$ dont les $F_n^A$ , avec l’ordre induit par l’ordre de Bruhat sur $S_n$, est un poset gradué. En particulier, nous démontrons que $F_n^{\{1\}}$ (c’est-à-dire, l’ensemble d’involutions avec précis en point fixe) est gradué, ce qui résout une conjecture d’Hultman à l’affirmative. Lorsque $F_n^A$ est gradué, nous donnons sa fonction de rang. En plus, nous donnons une nouvelle démonstration courte l’EL-shellability de $F_n^{\{0\}}$ (c’est-à-dire, l’ensemble d’involutions sans points fixes), établie récemment par Can, Cherniavsky et Twelbeck.
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hal-01337794 , version 1 (27-06-2016)

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Citer

Mikael Hansson. The Bruhat order on conjugation-invariant sets of involutions in the symmetric group. 27th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2015), Jul 2015, Daejeon, South Korea. pp.547-558, ⟨10.46298/dmtcs.2472⟩. ⟨hal-01337794⟩

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