Saviez-vous que les légos ou Minecraft possèdent leur propre géométrie ? Bien sûr, la dénomination est différente mais il s’agit bien d’étudier les formes que l’on peut construire avec des briques élémentaires à faces carrées. En imagerie, les carrés et les cubes sont respectivement appelés pixels et voxels et trouvent une représentation naturelle dans la grille des entiers Z2 et Z3. Bizarrement, le but premier de cette théorie n’est pas de construire des vaisseaux spatiaux, des châteaux remplis de ninjas ou des villes titanesques mais des droites, des cercles, des sphères ou tout objet mathématique qui ressemble un tant soit peu aux figures de la géométrie élémentaire. En dehors de ses applications ludiques, la géométrie digitale se définit comme la géométrie de Z2, Z3 ou plus généralement Zn, autant dire des espaces peu favorables à la géométrie. Si vous vous aventurez sur le chemin qui mène dans ces contrées hostiles à la pensée mathématique et informatique, vous risquez de croiser le membre de l’une de ses tribus archaïques. Au cas fort improbable où vous arriveriez à communiquer avec cet être primitif, vous en apprendrez peut-être un peu plus sur les raisons étranges qui leur font développer cette géométrie rudimentaire en milieu si hostile : — d’abord sans doute une certaine nostalgie pour les jeux de construction, — pour les esthètes, la beauté de la théorie, — et pour d’autres, l’ambition de jouer aux Mac Gyver de la géométrie mais derrière ces fantaisies extravagantes qui peuvent les rendre sympathiques, voir naïfs ou inoffensifs, se terre un argument de fond qui ne relève pas de la simple lubie mais de l’emprise du numérique sur les sciences et technologies actuelles. De tous temps, les sciences physiques à moyennes et grandes échelles ont guidé le développement d’une partie des mathématiques et en particulier de théories géométriques continues telles que la géométrie différentielle avec en soubassement le corps des nombres réels ou complexes. Ce paradigme (R) a fait ses preuves mais sa nature continue le rend fondamentalement inadapté au traitement des données recueillies par les millions de périphériques qui alimentent les bases de données du monde entier. Les capteurs enregistrent des données sous forme digitale, soit à une résolution fixée des tableaux d’entiers c’est-à-dire des fonctions de Zd à valeur dans Z. Peut-on les traiter comme si c’étaient des fonctions de Rd dans R ? Probablement pas sans précautions mais c’est pourtant la voie la plus courante : l’usager pioche l’outil dont il a besoin dans les mathématiques continues, puis il recherche le moyen de l’appliquer à des structures entières, parfois grâce à un bricolage dont il garde le secret tant il existe d’innombrables façons de faire. Même si le résultat peut s’avérer significatif, passer par les nombres réels, c’est-à-dire une théorie basée sur des suites rationnelles de Cauchy convergentes, pour ensuite l’appliquer dans un cadre entier via des probabilités, une autre théorie ou un subterfuge est un détour considérable. Puisque de très nombreuses données à traiter se présentent sous la forme d’objets composés d’entiers -le b.a.-ba des nombres pourquoi ne pas développer une théorie géométrique qui soit directement adaptée à ce format de données ? C’est le chemin que nous vous proposons d’explorer. Il parcourt un territoire primitif encore largement vierge et donc propice à la recherche. Les agités du bocal dont je vous ai déjà parlé -on pourrait aussi les appeler des pionniers ont bien sûr commencé à le défricher mais en comparaison de l’ampleur de la tâche, on en peut pas dire qu’ils soient très nombreux. C’est un travail en cours, un chantier à ciel ouvert et un terrain de jeu sur lequel il est vivement recommandé de s’aventurer en dehors des chemins balisés. Mais avant de vous lâcher en pleine jungle, nous vous proposons un itinéraire balisé. Alors, remontez vos chaussettes, aspergez-vous de citronnelle, empoignez vos coupe-coupes et suivez le guide...