Multiscale domain decomposition method for solving high-dimensional non-linear stochastic problems with localized uncertainties and non-linearities
Méthode de décomposition de domaine multiéchelle pour la résolution de problèmes stochastiques non-linéaires en grande dimension avec sources d'incertitudes et non-linéarités localisées
Résumé
During the last few decades, functional approaches for uncertainty quantification and propagation (henceforth known as spectral stochastic methods) have been a subject of growing interest and are currently employed for solving complex multiscale stochastic problems. Such multiscale stochastic models may exhibit some variabilities in the material properties (affecting the operator), the boundary conditions (affecting the loading and the source term) or the geometry at different scales. Classical monoscale approaches based on adaptive remeshing (e.g. mesh refinement) or enrichement techniques may lead to high computational costs and memory storage. Conversely, multiscale approaches based on patches allow to take the high solution complexity into account by operating a separation of scales. A multiscale coupling statregy devoted to stochastic problems featuring localized uncertainties hase been recently proposed in [1]. It relies on an overlapping domain decomposition method and leads to a global-local (two-scale) formulation of the stochastic problem. The associated global-local iterative algorithm requires the successive solution of a series of simplified global problems (with deterministic operators) defined on a deterministic domain and complex local problems (with uncertain operators and/or geometry) defined on subdomains of interest called patches. Convergence and robustness properties of the algorithm have been analyzed in [1] for linear elliptic stochastic problems.
In the present work, the method is extended to non-linear elliptic stochastic problems with locaized variabilities and non-linearities. Convergence and robustness results of the global-local iterative algorithm are shown for a class of non-linear elliptic stochastic problems. The multiscale coupling approach appears to be flexible and non-intrusive allowing to handle different models, approximation spaces and dedicated solvers at both local and global levels. The stochastic local problems are solved in parallel using a least-squares minimization method (non-intrusive sampling approach) which asks for the evaluation of samples of local solutions thanks to non-linear deterministic codes. Greedy algorithms proposed in [2] and dedicated to the solution of high-dimensional stochastic problems allow the adaptive construction of sparse polynomial approximations. The approximation error of local solutions is controlled by adapting the stochastic approximation basis and the number of samples. The performances of the multiscale domain decomposition method are illustrated through numerical examples carried out on a non-linear diffusion-reaction stochastic problem with localized random material heterogeneities.
References
[1] M. Chevreuil, A. Nouy, and E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.
[2] A. Chkifa, A. Cohen, R. DeVore, and C. Schwab. Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 47(1):253–280, 2013.
Durant les deux dernières décennies, les approches fonctionnelles pour la quantification et la propagation d'incertitudes (désormais connues sous le nom de méthodes spectrales stochastiques) ont suscité un intérêt grandissant et sont actuellement employées pour résoudre des problèmes stochastiques multiéchelles complexes. De tels modèles stochastiques multiéchelles peuvent présenter des variabilités au niveau des propriétés matériaux (affectant l'opérateur), des conditions aux limites (affectant le chargement et le terme source) ou de la géométrie à différentes échelles. Les approches monoéchelles classiques basées sur des techniques de raffinement ou d'enrichissement peuvent s'avérer coûteuses en temps de calcul et capacité mémoire. A l'inverse, les approches multiéchelles avec patchs permettent de prendre en compte la grande complexité des solutions en introduisant une séparation d'échelles. Une stratégie de couplage multiéchelle dédiée aux problèmes stochastiques présentant des sources d'incertitudes localisées a été récemment proposée dans [1]. Celle-ci s'appuie sur une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement conduisant à une formulation globale-locale (à deux échelles) du problème stochastique. L'algorithme itératif global-local associé requiert la résolution successive d'une série de problèmes globaux simplifiés (avec opérateurs déterministes) définis sur un domaine déterministe et de problèmes locaux complexes (avec opérateurs et/ou géométrie incertains) définis sur des sous-domaines d'intérêt appelés patchs. Les propriétés de convergence et de robustesse de l'algorithme ont été analysées dans [1] dans le cadre des problèmes stochastiques elliptiques linéaires.
Dans ce travail, la méthode est étendue au cas des problèmes stochastiques elliptiques non-linéaires en présence d'incertitudes et de non-linéarités localisées. La convergence et la robustesse de l'algorithme itératif global-local sont démontrées pour une classe de problèmes stochastiques elliptiques non-linéaires. L'approche de couplage multi-échelle est flexible et non-intrusive dans la mesure où elle permet la prise en compte de modèles différents, d'espaces d'approximation et de solveurs dédiés aux niveaux global et local. Les problèmes locaux stochastiques sont résolus en parallèle en utilisant une méthode de minimisation au sens des moindres carrés (approche non-intrusive basée sur de l'échantillonnage) qui nécessite l'évaluation d'échantillons des solutions locales à l'aide d'un code déterministe non-linéaire. Des algorithmes gloutons proposés dans [2] et dédiés à la résolution de problèmes stochastiques en grande dimension permettent la construction adaptative d'approximations polynomiales creuses. L'erreur d'approximation des solutions locales est contrôlée en adaptant la base d'approximation stochastique et le nombre d'échantillons. Les performances de la méthode de décomposition de domaine multiéchelle sont illustrées à partir d'exemples numériques sur un problème stochastique de diffusion-réaction non-linéaire présentant des hétérogénéités matériaux aléatoires localisées.
Références
[1] M. Chevreuil, A. Nouy et E. Safatly. A multiscale method with patch for the solution of stochastic partial differential equations with localized uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 255(0):255–274, 2013.
[2] A. Chkifa, A. Cohen, R. DeVore et C. Schwab. Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 47(1):253–280, 2013.
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