Dans leur article sur l'équivalence de Wilf pour les classes de singletons, Backelin, West et Xin ont introduit une transformation $\phi^*$, définie par un processus itératif et opérant sur (tous) les placements complets de tours sur un plateau de Ferrers. Bousquet-Melou et Steingrimsson ont démontré l'analogue du résultat principal de Backelin, West et Xin dans le contexte d'involutions, et pour ce faire ont eu besoin de démontrer que $\phi^*$ commute avec l'opération inverse. La preuve de cette commutativité est longue et difficile, et Bousquet-Melou et Steingrômsson se demandèrent s'il n'était pas possible de reformuler $\phi^*$ de sorte que le resultat devienne évident. Dans le présent article, nous proposons une telle reformulation de $\phi^*$ en modifiant l'algorithme de croissance de diagramme de Fomin. Cette reformulation répond également à une question de Krattenthaler, qui, remarquant qu'une bijection définie par l'algorithme de Fomin non modifié commute évidemment avec l'opération inverse, se demanda quel était le rapport entre cette bijection et $\phi^*$.