The Li-Yau inequality and applications under a curvature-dimension condition
Résumé
We prove a global Li-Yau inequality for a general Markov semigroup under a curvature-dimension condition. This inequality is stronger than all classical Li-Yau type inequalities known to us. On a Riemannian manifold, it is equivalent to a new parabolic Harnack inequality, both in negative and positive curvature, giving new subsequents bounds on the heat kernel of the semigroup. Under positive curvature we moreover reach ultracontractive bounds by a direct and robust method.
Nous obtenons une inégalité de type Li-Yau pour un semi-groupe de Markov général, sous une condition de courbure-dimension. A notre connaissance, cette nouvelle inégalité renforce toutes les inégalités de ce type. Sur une variété riemannienne, elle est équivalente à une nouvelle inégalité de Harnack parabolique, en courbure positive ou négative, et induit des bornes pertinentes sur le noyau de la chaleur associé. En courbure positive, elle permet d'atteindre des bornes ultracontractives par une méthode directe et robuste.
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