Nous montrons que C1-génériquement les difféomorphismes symplectiques d'une variété compacte sont transitifs. Sur les variétés symplectiques non-compactes, nous montrons que les orbites génériques d'un difféomorphisme générique ne sont pas bornées. L'outil principal est un lemme de connexion pour les pseudo-orbites des difféomorphismes symplectiques. Pour cela nous donnons des conditions générales sur un espace de difféomorphismes, en particulier au voisinage des orbites périodiques, qui permettent d'obtenir le lemme de connexion pour les pseudo-orbites. Abstract: We prove that C1-generic symplectic diffeomorphisms of a compact manifold are transitive. On non-compact manifolds, we show that generic orbits of generic diffeomorphisms are not bounded. The main tool is a connecting lemma for pseudo-orbits of symplectic diffeomorphisms. In the proof, we give general conditions on diffeomorphisms spaces, in particular at the neighborhood of the periodic orbits, which imply the connecting lemma for pseudo-orbits.