On démontre une conjecture due à N. Kuhn concernant la cohomologie singulière à coefficients mod p des espaces, comme module instable sur l'algèbre de Steenrod. Notre démonstration de ce résultat, déjà connu en caractéristique 2, fait appel à une méthode nouvelle, qui fonctionne en toute caracteristique. De cette manière on rétablit un résultat de [S98] dont la preuve est incomplète dans le cas d'un nombre premier impair. We settle a conjecture due to N. Kuhn about the mod p cohomology of spaces considered as unstable modules over the Steenrod algebra.This result is already known to hold in characteristic 2. The method presented here is essentially new and works for all characteristics. In doing so we fix a gap in [S98] concerning the odd prime case.