Nous introduisons les inégalités de Carleman locales pour les opérateurs elliptiques, en utilisant des techniques d'analyse microlocale semi-classique. Nous montrons l'optimalité des puissances des paramètres de ces inégalités et leur lien avec la variété caractéristique du problème après conjugaison avec les fonctions poids. Nous déduisons des inégalités de Carleman des propriétés de prolongement unique ainsi que des inégalités d'interpolations. Ces dernières donnent une inégalité spectrale remarquable et la contrôlabilité à zéro de l'équation de la chaleur. Dans un second temps, nous prouvons des inégalités de Carleman pour des opérateurs paraboliques. Tout d'abord enoncées localement en espace, ces inégalités sont recollées pour obtenir une inégalité globale. Nous montrons à nouveau la contrôlabilité à zéro des équations paraboliques par cette autre approche.