Article Dans Une Revue Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique Année : 1994

Weak convergence of the integrated number of level crossings to the local time for Wiener processes

Résumé

Let $\{X_{t}, t \in [0,1]\}$ be a Wiener process defined on $(\Omega, A, P)$ with covariance function $r(t,s) = E(X_{t}X_{s}) = inf\{ t, s\}$. We define the regularized process $X^{\varepsilon}_{t}= \varphi_{\varepsilon}*X_{t}$, with $\varphi_{\varepsilon}$ a kernel that approaches Dirac's delta function. We study the convergence of $$ Z_{\varepsilon}(f) = \varepsilon^{-\frac{1}{2}}{\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}} [ \frac{N^{X^{\varepsilon}}(x)}{c(\epsilon)} - L_{X}(x) ] f(x) dx $$ when $\varepsilon$ goes to zero, with $N^{X^{\varepsilon}}(x)$ the number of crossings for $X^{\varepsilon}$ at level $x$ in $[0,1]$ and $L_{X}(x)$ the local time of X in $x$ on $[0,1]$.

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Citer

Corinne Berzin-Joseph, José R. León. Weak convergence of the integrated number of level crossings to the local time for Wiener processes. Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, 1994, 319, pp.1311-1316. ⟨hal-00319481⟩

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