On reformule la théorie des polygones de Harder-Narasimhan par le langage des $\mathbb R$-filtrations. En utlisant une variante du lemme de Fekete et un argument combinatoire des monômes, on établit la convergence uniforme des polygones associés à une algèbre graduée munie des filtrations. Cela conduit à l'existence de plusieur invariants arithmétiques dont un cas très particulier est la capacité sectionnelle. Deux applications de ce résultat dans la géométrie d'Arakelov sont abordées~: le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique ainsi que l'existence et l'interprétation géométrique de la pente maximale asymptotique.