Le foncteur V -> $F_2[V]^{\otimes 3}$ entre $F_2$-espaces vectoriels est noethérien
Résumé
We prove that in the category F of functors between F2-vector spaces, the tensor product between three copies of the standard projective object P : V -> F2[V] and a functor of finite length is noetherian. The only case known to date was the noetherian character of P tensor 2 tensor F for F of finite length. For this wis use several division functors, whose effect on finitely generated functors of F is analyzed with the help of the grassmannian functor categories and facts from modular representation theory of linear groups.
Les foncteurs entre espaces vectoriels, ou représentations génériques des groupes linéaires ([Kuh94a], [Kuh94b]), interviennent en topologie algébrique et en K-théorie comme en théorie des représentations ([FFPS03]). Nous présentons ici une nouvelle méthode pour aborder les problèmes de finitude et la dimension de Krull dans ce contexte. Plus précisément, nous démontrons que, dans la catégorie F des foncteurs entre espaces vectoriels sur F_2, le produit tensoriel entre $P^{\otimes 3}$, où P désigne le foncteur projectif V->F_2[V], et un foncteur de longueur finie est noethérien et déterminons sa structure. Seul était antérieurement connu le caractère noethérien de $P^{\otimes 2}\otimes F$ pour F de longueur finie.
Nous utilisons pour cela plusieurs foncteurs de division, dont nous analysons l’effet sur des foncteurs de type fini de F à l’aide des catégories de foncteurs en grassmanniennes, introduites dans [Dja07b]. Cela nous permet de ramener le problème initial à des calculs explicites finis portant sur des représentations modulaires de groupes linéaires (où intervient notamment la représentation de Steinberg), qui renseignent finalement
sur des phénomènes infinis en théorie des représentations.
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