Soit F la catégories des foncteurs entre espaces vectoriels sur le corps à deux éléments. À l'aide des catégories de foncteurs en grassmanniennes, nous avons émis dans [Dja06a] une conjecture décrivant la filtration de Krull de la catégorie F. Nous démontrons une forme affaiblie de cette conjecture, avec comme application la détermination de la structure du produit tensoriel entre le foncteur projectif standard associé à un espace vectoriel de dimension 2 et un foncteur fini de F, dont on établit le caractère noethérien de type 2. Nous étudions également le morphisme induit par le foncteur d'intégrale en grassmanniennes entre anneaux de Grothendieck.