Contraction Analysis of Nonlinear Systems on Riemannian Manifolds - Laboratoire des Signaux et Systèmes Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Contraction Analysis of Nonlinear Systems on Riemannian Manifolds

Analyse de contraction des systèmes non-linéaires sur des variétés Riemanniennes

Dongjun Wu
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1378041
  • IdRef : 262486253

Résumé

Stability of equilibrium points of nonlinear systems is one of the central issues of nonlinear control theory and applications. Stability analysis often boils down to searching for a Lyapunov candidate that adequately dissipates along the system’s solutions. The last two decades have witnessed a growing need to go beyond stability of an equilibrium, by imposing that any two solutions of a system eventually converge to one another. Such an incremental version of Lyapunov stability (contraction) indeed proves useful in observer design, synchronization and trajectory tracking. However, analysis methods to contraction are still far from being standardized, particularly for systems evolving on manifolds such as rotation dynamics in special orthonormal group, Lagrangian systems modeled in non-Euclidean configuration space and quantum systems in density matrix space. The main objective of this thesis is to provide further understanding of contractive systems on manifolds and to propose applicable methods to ensure contraction. More precisely, the contributions of the thesis are:C1 Introduce the new tool, based on the complete lift, for contraction analysis. This new tool makes it possible to carry out contraction analysis on manifolds in a coordinate-free manner and to understand the geometric essence of contractive systems.C2 Show that Finsler-Lyapunov functions play a similar role for contraction as Lyapunov functions for stability analysis. In particular, we show that a contractive system always admits a Finsler-Lyapunov function.C3 Provide new geometric characterizations of contractive systems.First, we show that contraction can be fully characterized on a tubular neighborhood of the base manifold of the tangent bundle, therefore relaxing the main results of C1. Second, we establish a connection between Lyapunov stability and contraction. The connection is made by Krasovskii’s method. It is shown that a Lyapunov function can be directly constructed using the information of contraction, in which the latter is concerned with objects in the tangent bundle while the former is an object on the base manifold.C4 Study local exponential stability of nontrivial solutions of systems on manifolds. It is found that such stability has close relationship with contraction, and is easier to use than contraction in some situations.Necessary and sufficient conditions are obtained. An illustrative example, namely, convergence analysis of observer of Lagrangian system is given to show the effectiveness of the approach.C5 Study robustness of contraction by converting contraction into transverse stability. It is shown that contraction is robust when the system flow along the horizontal manifold is hyperbolic. The method is then extended to study almost global input to state stability, which proves particularly useful for observer design on compact manifolds.
La stabilité des points d'équilibre des systèmes non linéaires est l'un des problèmes centraux de la théorie du contrôle non linéaire et de ses applications. L'analyse de stabilité se résume souvent à la recherche d'une fonction de Lyapunov candidate qui dissipe de manière adéquate le long des solutions du système. Les deux dernières décennies ont vu un besoin croissant d'aller au-delà de la stabilité d'un équilibre, en imposant que deux solutions d'un système finissent par converger l'une vers l'autre. Une telle version incrémentale de la stabilité de Lyapunov (contraction) s'avère en effet utile dans la conception d'observateurs, la synchronisation et le suivi de trajectoire. Cependant, les méthodes d'analyse pour la contraction sont encore loin d'être standardisées, en particulier pour les systèmes évoluant sur des variétés telles que les dynamiques de rotation en groupe spécial orthonormé, les systèmes Lagrangiens modélisés en espace de configuration non-Euclidien et les systèmes quantiques en espace matriciel de densité. L'objectif principal de cette thèse est d'approfondir la compréhension de la contraction sur les variétés et de proposer des méthodes applicables pour assurer la contraction. Plus précisément, les contributions de la thèse sont :C1 Présentation d'un nouvel outil, basé sur la levée complète, pour l'analyse des contractions. Cet outil permet d'effectuer des analyses de contraction sur des variétés sans coordonnées et de comprendre l'essence géométrique des systèmes contractants.C2 Montrer que les fonctions de Finsler-Lyapunov jouent un rôle similaire pour la contraction que les fonctions de Lyapunov pour l'analyse de stabilité. En particulier, nous montrons qu'un système contractant admet toujours une fonction de Finsler-Lyapunov.C3 Fournir de nouvelles caractérisations géométriques des systèmes contractés. Premièrement, nous montrons que la contraction peut être complètement caractérisée sur un voisinage tubulaire de la variété de base du fibré tangent, généralisant ainsi les principaux résultats de C1. Deuxièmement, nous établissons un lien entre la stabilité et la contraction. La connexion est faite par la méthode de Krasovskii. On montre qu'une fonction de Lyapunov peut être directement construite en utilisant l'information de contraction, dans laquelle cette dernière concerne les objets du fibré tangent tandis que la première est un objet de la variété de base.C4 Étudier la stabilité exponentielle locale de solutions non triviales de systèmes sur des variétés. On constate qu'une telle stabilité a une relation étroite avec la contraction, et est plus facile à utiliser que la contraction dans certaines situations.Des conditions nécessaires et suffisantes sont obtenues. Un exemple illustratif, à savoir l'analyse de convergence de l'observateur d'un système Lagrangien, est donné pour montrer l'efficacité de l'approche.C5 Étudier la robustesse de la contraction en convertissant la contraction en stabilité transversale. Il est montré que la contraction est robuste lorsque le flux du système le long de la variété horizontale est hyperbolique. La méthode est ensuite étendue pour étudier la stabilité entrée-état presque globale, ce qui s'avère particulièrement utile pour la conception d'observateurs sur des variétés compactes.
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Dates et versions

tel-04557957 , version 1 (24-04-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04557957 , version 1

Citer

Dongjun Wu. Contraction Analysis of Nonlinear Systems on Riemannian Manifolds. Automatic. Université Paris-Saclay; Harbin Institute of Technology (Chine), 2022. English. ⟨NNT : 2022UPAST037⟩. ⟨tel-04557957⟩
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