La théorie des coniques chez Poncelet, Steiner et von Staudt - Archive ouverte en Histoire etPhilosophie des Sciences et des Techniques Accéder directement au contenu
Chapitre D'ouvrage Année : 2012

La théorie des coniques chez Poncelet, Steiner et von Staudt

Résumé

La pratique de la géométrie pure change radicalement en cinquante années entre la fin du 18 e siècle et la première moitié du 19 e siècle. Entre une géométrie « hérissée de figures » selon la célèbre expression de Chasles et celle présentée dans le Traité de Géométrie supérieure 2 ce n'est pas seulement les méthodes qui sont radicalement renouvelées mais aussi la conception globale que les géomètres se font de leur discipline. On passe d'une géométrie vue comme discipline centrée autour de la figure à une géométrie conçue comme la théorie mathématique de l'espace. Dans la présentation de leurs innovations en géométrie, Carnot, Poncelet, Chasles, Steiner ou von Staudt présentent les travaux antérieurs des géomètres purs comme l'étude successive de problèmes relatifs à des figures particulières et par conséquent ayant peu de rapports entre eux. En même temps que l'exigence de procédures de démonstration plus générales impliquant des énoncés concernant des propriétés elles-mêmes générales, émerge l'idée que le corpus des énoncés géométriques se doit d'être structuré en théories elles-mêmes organisées autour de principes fondamentaux. Déjà, Carnot exprimait ce changement radical de conception du travail géométrique lorsqu'il affirmait que son intention n'était pas d'ajouter de nouveaux résultats particuliers à la géométrie mais plutôt de parvenir à des résultats généraux d'où l'on pourrait dériver les propositions particulières. De même, Poncelet qui annonce qu'il ne sera question dans son travail que de propriétés qui auront toute la généralité possible puisque « ces propriétés renferment implicitement toutes les autres ». Chasles est sûrement celui qui exprime la volonté de constituer des théories générales s'appuyant sur quelques principes fondamentaux comme celles des figures homographiques ou corrélatives. En même temps que l'on passe d'une géométrie des problèmes à des théories géométriques, on assiste à un effacement progressif de la figure. Le lien entre figure particulière et propriété géométrique est conservé par Carnot dont l'objectif est justement de ne considérer en dernière instance que des propriétés explicites, c'est-à-dire applicables à une figure particulière. Ce lien se dissout chez Poncelet grâce à l'admission du principe de continuité qui est effectivement un principe de permanence des propriétés au-delà de la position relative des éléments de la figure et même de l'existence effective de certains de ces éléments. En présentant la géométrie comme un ensemble de théories, Chasles, après Steiner, efface les figures au sens propre comme au sens figuré. Le géomètre ne se confronte plus à une configuration particulière mais au contraire s'intéresse à la manière dont certaines formes peuvent être liées : il est symptomatique que Chasles subordonne l'étude des lignes droites, des cercles ou des sections coniques à celle des relations homographiques entre les points d'une droite ou les droites d'un faisceau et des relations. Carnot et Poncelet pratiquaient la géométrie comme l'étude des propriétés des figures ; Steiner et à sa suite von Staudt proposent une autre conception de la géométrie en la centrant autour de l'étude des formes fondamentales de la géométrie que sont la ponctuelle, le plan et l'espace.
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hal-01079478 , version 1 (02-11-2014)

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  • HAL Id : hal-01079478 , version 1

Citer

P Nabonnand. La théorie des coniques chez Poncelet, Steiner et von Staudt. R. Rashed & P. Crozet. Les Courbes :histoire d’un concept, Blanchard, 2012. ⟨hal-01079478⟩
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