Theses Year : 2000

Invariant theory and its application in galois theory

Théorie des Invariants et Application à la Théorie de Galois effective

Abstract

Invariant theory and Galois theory are central topics in Computer Algebra. They have been studied by many authors. This thesis is devoted to the study of the interaction between the computation of invariants and Galois theory. First, we present the package « PrimitiveInvariant » written in GAP for computing all primitive invariants (relative or absolute). Then, using covariants, we present a generalization of Berwick’s method to compute Lagrange resolvents—a resolvent being the basic tool for computing the Galois group of an equation—and we compute the classical invariants, which are invariants of groups. Finally, we propose two algebraic methods for computing the Galois group of an irreducible polynomial \( f \), which we call the effective Hacque method and the complete GI-method. We combine the Hacque method with the initial steps of the complete GI-method to obtain an implementable approach, offering a new way of computing the Galois group.

La théorie des invariants et la théorie de Galois sont deux thèmes centraux en Calcul Formel qui ont fait l'objet de nombreux travaux. Cette thèse est consacrée à l'étude des principales méthodes de la théorie des invariants qui interviennent en théorie de Galois effective. La première partie de la thèse présente un module « PrimitiveInvariant » qui détermine tous les invariants primitifs réduits (relatifs ou absolus). Ce sont des polynômes qui caractérisent les sous-groupes du groupe symétrique et sont à la base de la fondation de la théorie des groupes. La deuxième partie de la thèse revisite la théorie des invariants classiques pour les utiliser dans le calcul de résolvantes particulières (la résolvante est l'outil de base de la théorie de Galois effective). Nous prouvons qu'il existe toujours un invariant primitif (polynôme-différence) dont les coefficients de la résolvante associée soient des invariants classiques. Nous implémentons un algorithme de calcul de ces invariants classiques et nous automatisons la méthode de Berwick pour le calcul des résolvantes de Lagrange en exprimant les coefficients (polynômes-différences symétrisés) en fonction d'invariants classiques. Dans la troisième partie, nous présentons une méthode hybride de calcul du groupe de Galois d'un polynôme. Cette méthode combine un résultat de M. Hacqué pour identifier le groupe de Galois avec un système d'équations et la méthode des idéaux de Galois développée récemment dans notre équipe.

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Dates and versions

tel-05457191 , version 1 (14-01-2026)

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  • HAL Id : tel-05457191 , version 1

Cite

Ines Abdeljaouad. Théorie des Invariants et Application à la Théorie de Galois effective. Informatique [cs]. Université Pierre et Marie Curie (Paris 6), Sorbonne Universités, 2000. Français. ⟨NNT : 2000PA066576⟩. ⟨tel-05457191⟩
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