Scale transformations in approximation : spline fitting on surfaces
Etude de changements d'échelle en approximation : Ajustement spline sur des surfaces
Résumé
Approximation of curves and surfaces using splines from rapidly varying or highly fluctuating data is often complicated (Gibbs phenomenon). Indeed, the resulting curve or surface often exhibits oscillations near the points close to the strong variations. Without any information about the location of the strong variation(s), it is not possible to use known methods to address this problem. Without prior knowledge of the strong variation location, the uniqueness of the method lies in pre- and post-processing of the data. Instead of seeking an approximant directly, a rescaling of the data is first performed. The novelty of the method consists in compressing irregularly spaced data by bringing them into a fixed interval where their distribution is regular. Indeed, once these knots are evenly spaced, it becomes easy to determine a non-oscillatory approximant. To return to the initial data, it suffices to use the inverse family of scaling transformations. The convergence of the method is established as the set of data points grows. Numerical examples are given, along with various other applications: methods to reduce noise present in images, assistance in image segmentation, in economics. In a second part, the problem of constructing a regular approximant of a surface defined by an explicit equation from given pieces of this surface is studied. The originality of the method lies in the fidelity criterion to the data which respects their continuous form. The convergence of the method is established.
L'approximation de courbes et surfaces par des splines à partir de données variant rapidement ou présentant de fortes variations est un problème délicat. En effet, la courbe ou surface obtenue présente souvent des oscillations au niveau des points situés près de la forte variation. Ne disposant d'aucune information sur la localisation de la (ou des) forte(s) variation(s), il n'est pas possible d'utiliser des méthodes connues pour traiter ce problème. Sans information à priori sur la localisation de la forte variation, la particularité de la méthode utilisée réside dans un pré et un post-traitement des données. Au lieu de chercher directement un approximant, nous allons d'abord effectuer un changement d'échelle sur les données. L'originalité de la méthode va consister à écraser les données irrégulièrement réparties en les ramenant dans un intervalle fixe ou leur répartition sera régulière. En effet, une fois ces cotes régulièrement réparties, il devient aisé de déterminer un approximant n'oscillant pas. Pour ensuite revenir aux données initiales, il suffit d'utiliser la famille de changement d'échelle inverse. La convergence de la méthode est établie lorsque l'ensemble des points de données croît. Des exemples numériques sont donnés, ainsi que diverses autres applications : méthode pour atténuer le bruit présent sur des images, aide à la segmentation en imagerie, économie. . Dans une deuxième partie, on étudie le problème de la construction d'un approximant régulier d'une surface définie par une équation explicite à partir de la donnée d'un ensemble de morceaux de cette surface. L'originalité de la méthode réside dans le critère de fidélité aux donnée qui respecte la forme continue de celles-ci. La convergence de la méthode est établie.