Thèse Année : 1986

Schätzung der Stichprobenautokovarianzen und Autokorrelationen für saisonale Modelle

Estimation of sample autocovariances and autocorrelations for seasonal models

Estimation des autocovariances et des autocorrélations échantillonnales de modèles saisonniers

Résumé

The book by Box and Jenkins (1976) has had a significant impact on the application and development of time series techniques. The temporal approach they suggest for analyzing a time series is an iterative process consisting of three steps. The first step involves identifying a model that can describe the series, the second step estimates the parameters of the identified model, and the third step verifies whether the properties of the fitted model align with the known properties of the observations. If the model appears adequate, it can be used for forecasting; otherwise, the process must be restarted from the first step. At the identification stage, the statistician analyzes sample autocovariances and autocorrelations. In the case of stationary series, the properties of these statistics are relatively well known, as demonstrated by Anderson (1971), Fuller (1976), and Priestley (1981). However, it should be noted that most of these results are asymptotic. Regarding non-stationary series, few results were known at the beginning of the second half of the 1970s. Our work falls within the framework of studying the properties of common statistics computed from non-stationary data. The results related to sample autocovariances and autocorrelations are presented in two parts. In one part, we consider statistics calculated with centered data, while in the other, the data are not centered. Our approach consists of five steps corresponding to the different chapters of this thesis. In Chapter Two, we introduce the notion of a seasonal random walk. Essentially, this refers to a stochastic process for which a difference of order \(s\) produces white noise. We first determine the first two moments of this process. We then examine sample autocovariances with centered data. We obtain an exact formula for the expectation of the autocovariance with lag \(k\) (denoted as \(c(k)\)), for \(k \geq 0\), as well as an exact formula for the variance of an autocovariance where the lag is a multiple of the period \(s\). We generalize these results to a specific linear transformation of the seasonal random walk. The significance of this transformation becomes evident in Chapter Three, where we derive the properties of common descriptive statistics in a more general context where a difference of order \(s\) produces a stationary linear process. The penultimate section of Chapter Two deals with the case where we compute autocovariances using non-centered data (denoted as \(c′(k)\)). To conclude Chapter Two, we obtain an approximation of the expectation and variance of an autocorrelation coefficient where the lag is a multiple of the period, using Kendall’s formulas for approximate moment calculations of a ratio of quadratic forms. The error in these approximations is on the order of \(1/N\), where \(N\) is the length of the series. A significant number of calculations in Chapter Two required the use of the symbolic computation program MacSyma. In Chapter Three, we study a more general seasonal process for which a difference of order \(s\) generates a stationary linear process. First, we show that the seasonal process is, for all practical purposes, the sum of a specific linear transformation of the seasonal random walk and a stationary process. This result generalizes a finding used by Roy and Lefrançois (1981) and Hasza (1980). We then explicitly derive the asymptotic first two moments of sample autocovariances divided by the length of the series. We conclude Chapter Three by indicating how these results apply when using sample autocovariances with non-centered data. Some results from Dickey (1976), which are used in Chapter Five to obtain the asymptotic distribution of a simple function of the autocorrelation at lag \(d_s\), are summarized in Chapter Four. Two autocorrelation coefficients are considered: \(r(k)\), computed from centered data, and \(r′(k)\), computed from non-centered data. It is known that for a stationary process with zero mean, \(r(k)\) and \(r′(k)\) share the same asymptotic distribution. By highlighting the asymptotic distribution of \(N(1 - r(d_s))\) and \(N(1 - r′(d_s))\) for \(N = ns\) and \(d \geq 0\), we observe that in the case of non-stationary data, structural differences exist between these distributions. These results hold for both the seasonal random walk and the more general seasonal process. Still within the context of the seasonal random walk, the asymptotic distributions of \(c(k)\) and \(c′(k)\) are explicitly derived when \(k\) is a multiple of the period. Finally, in Chapter Six, the various distributions encountered in the previous chapters are evaluated using the Monte Carlo method. These simulations allow the reader to assess the impact of using centered or non-centered data in the computation of autocorrelations, both in terms of exact and asymptotic moments and in terms of distributions. They also provide insight into the speed of convergence of exact distributions toward their asymptotic counterparts.

Le livre de Box et Jenkins (1976) a eu un impact significatif sur l’application et le développement des techniques de séries chronologiques. L’approche temporelle qu’ils proposent pour l’analyse d’une série est un processus itératif en trois étapes. La première étape consiste à identifier un modèle permettant de décrire la série, la deuxième à estimer les paramètres du modèle identifié, et la troisième à vérifier si les propriétés du modèle ajusté sont en accord avec celles des observations. Si le modèle semble adéquat, il peut être utilisé pour la prévision ; sinon, il faut reprendre le processus à la première étape. À l’étape d’identification, le statisticien analyse les autocovariances et les autocorrélations échantillonnées. Dans le cas des séries stationnaires, les propriétés de ces statistiques sont relativement bien connues, comme l’ont démontré Anderson (1971), Fuller (1976) et Priestley (1981). Toutefois, il convient de noter que la plupart de ces résultats sont asymptotiques. Concernant les séries non stationnaires, peu de résultats étaient disponibles au début de la seconde moitié des années 1970. Notre travail s’inscrit dans l’étude des propriétés des statistiques usuelles calculées à partir de données non stationnaires. Les résultats relatifs aux autocovariances et aux autocorrélations échantillonnées sont présentés en deux parties. Dans l’une, nous considérons les statistiques calculées avec des données centrées, tandis que dans l’autre, les données ne sont pas centrées. Notre approche suit cinq étapes correspondant aux différents chapitres de cette thèse. Dans le chapitre deux, nous introduisons la notion de promenade aléatoire saisonnière. Il s’agit essentiellement d’un processus stochastique pour lequel une différence d’ordre \(s\) génère un bruit blanc. Nous déterminons d’abord les deux premiers moments de ce processus. Ensuite, nous étudions les autocovariances échantillonnées avec des données centrées. Nous obtenons une formule exacte pour l’espérance de l’autocovariance avec un décalage \(k\) (notée \(c(k)\)), pour \(k \geq 0\), ainsi qu’une formule exacte pour la variance d’une autocovariance dont le décalage est un multiple de la période \(s\). Nous généralisons ces résultats à une transformation linéaire spécifique de la marche aléatoire saisonnière. L’intérêt de cette transformation devient évident dans le chapitre trois, où nous obtenons les propriétés des statistiques descriptives usuelles dans un cadre plus général, où une différence d’ordre \(s\) génère un processus linéaire stationnaire. L’avant-dernière section du chapitre deux traite du cas où nous calculons les autocovariances avec des données non centrées (notées \(c′(k)\)). Pour conclure le chapitre deux, nous obtenons une approximation de l’espérance et de la variance d’un coefficient d’autocorrélation dont le décalage est un multiple de la période, en utilisant les formules de Kendall pour le calcul approximatif des moments d’un rapport de formes quadratiques. L’erreur de ces approximations est de l’ordre de \(1/N\), où \(N\) est la longueur de la série. Une grande partie des calculs du chapitre deux a nécessité l’utilisation du programme de calcul symbolique MacSyma. Dans le chapitre trois, nous étudions un processus saisonnier plus général pour lequel une différence d’ordre \(s\) génère un processus linéaire stationnaire. Nous montrons d’abord que ce processus saisonnier est, en pratique, la somme d’une transformation linéaire spécifique de la marche aléatoire saisonnière et d’un processus stationnaire. Ce résultat généralise une propriété utilisée par Roy et Lefrançois (1981) ainsi que par Hasza (1980). Nous dérivons ensuite explicitement les deux premiers moments asymptotiques des autocovariances échantillonnées, préalablement divisées par la longueur de la série. Nous concluons le chapitre trois en précisant comment ces résultats s’appliquent aux autocovariances échantillonnées calculées avec des données non centrées. Certains résultats de Dickey (1976), utilisés dans le chapitre cinq pour obtenir la distribution asymptotique d’une fonction simple de l’autocorrélation au décalage \(d_s\), sont résumés dans le chapitre quatre. Deux coefficients d’autocorrélation sont considérés : \(r(k)\), calculé à partir de données centrées, et \(r′(k)\), calculé avec des données non centrées. Il est connu que dans le cas d’un processus stationnaire de moyenne nulle, \(r(k)\) et \(r′(k)\) ont la même distribution asymptotique. En mettant en évidence la distribution asymptotique de \(N(1 - r(d_s))\) et de \(N(1 - r′(d_s))\) pour \(N = ns\) et \(d \geq 0\), nous observons que dans le cas de données non stationnaires, des différences structurelles existent entre ces distributions. Ces résultats s’appliquent aussi bien à la marche aléatoire saisonnière qu’au processus saisonnier plus général. Toujours dans le contexte de la marche aléatoire saisonnière, les distributions asymptotiques de \(c(k)\) et de \(c′(k)\) sont explicitement établies lorsque \(k\) est un multiple de la période. Enfin, dans le chapitre six, les différentes distributions rencontrées dans les chapitres précédents sont évaluées à l’aide de la méthode de Monte Carlo. Ces simulations permettent au lecteur d’évaluer l’impact de l’utilisation de données centrées ou non centrées dans le calcul des autocorrélations, tant en ce qui concerne les moments exacts et asymptotiques qu’en ce qui concerne les distributions. Elles donnent également une indication sur la vitesse de convergence des lois exactes vers leurs limites asymptotiques.

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Citer

Alain Latour. Estimation des autocovariances et des autocorrélations échantillonnales de modèles saisonniers. Statistiques [stat]. Université de Montréal (Canada), 1986. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04984055⟩

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