Hierarchical methods for deterministic and stochastic partial differential equations
Méthodes hiérarchiques pour des équations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques
Résumé
Hierarchical methods have become essential tools for the efficient numerical simulation of physical phenomena with ever-growing fidelity on modern high-performance supercomputers. Well-established methods, such as multigrid and domain decomposition methods, owing to their scaling capabilities, have proven powerful to solve certain classes of large-scale problems in a parallel fashion on supercomputers. On the other hand, the propagation of uncertainties in numerical simulations has received increasing attention in recent years.
For computationally demanding simulations of highly non-linear problems (w.r.t.\ uncertain input parameters), advanced uncertainty quantification methods need to be designed. In this manuscript, we present methodological and algorithmic ideas to address specific questions related to hierarchical methods.
First, we present resilient domain decomposition approaches for the numerical solution of deterministic and stochastic partial differential equations, as well as surrogate-assisted Monte Carlo strategies for the propagation of uncertainties in domain decomposition solvers.
Second, we introduce novel multigrid solvers for the linear systems arising from hybridizable high-order discretizations.
Third, we propose hierarchical approaches, namely multilevel and multifidelity methods, for the propagation of uncertainties in expensive numerical simulators.
Finally, we also propose ideas for the efficient numerical solving of sequences of systems of linear equations that typically arise when solving time-dependent and/or non-linear problems, or when sampling stochastic partial differential equations.
Les méthodes hiérarchiques sont devenues un outil essentiel pour la simulation numérique efficace de phénomènes physiques avec une fidélité croissante sur des calculateurs à haute performance modernes.
Des méthodes bien établies, telles que les méthodes multigrilles et de décomposition de domaine, se sont avérées performantes, de par leur capacité de passage à l'échelle, pour résoudre certains problèmes de grande taille de manière parallèle sur des supercalculateurs. D'autre part, la propagation des incertitudes dans les simulations numériques a reçu une attention croissante ces dernières années. Pour des simulations onéreuses en temps de calcul de problèmes fortement non-linéaires (par rapport à des paramètres d'entrée incertains), des méthodes avancées de quantification des incertitudes doivent être dévelopées.
Dans ce manuscrit, nous exposons des idées méthodologiques et algorithmiques pour répondre à des questions spécifiques liées aux méthodes hiérarchiques.
Premièrement, nous présentons des approches de décomposition de domaine résilientes pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques, ainsi que des stratégies de Monte Carlo accélérées par des modèles de substitution pour la propagation des incertitudes dans des méthodes de décomposition de domaine.
Deuxièmement, nous présentons de nouveaux solveurs multigrilles pour des systèmes linéaires issus de discrétisations hybrides d'ordre élevé.
Troisièmement, nous proposons des approches hiérarchiques, plus précisément des méthodes multiniveaux et multifidélité, pour la propagation d'incertitudes dans les simulateurs numériques coûteux.
Enfin, nous proposons également des idées pour la résolution numérique efficace de suites de systèmes d'équations linéaires, rencontrées typiquement lors de la résolution de problèmes instationnaires et/ou non linéaires, ou lors de l'échantillonnage d'équations aux dérivées partielles stochastiques.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|---|
| Licence |
