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Thèse Année : 2024

Factoring differential operators in positive characteristic.

Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive.

Résumé

The study of linear differential operators is an important part of the algebraic study of differential equations. Rings of linear differential operators share many properties with rings of polynomials, but the noncommutative aspect of the multiplication makes the design of factorisation algorithms harder. This thesis focuses mainly on developing an algorithm computing an irreducible right factor of a given linear differential operator with coefficients in an algebraic function field of positive characteristic p. The situation differs greatly from the same problem in characteristic 0 because algebraic function fields of characteristic p are finite dimensional over their field of constants. This simple fact provides the ring of differential operators in characteristic p with an additional structure of Azumaya algebra, which gives additional tools to attack our problem. A first step in this direction is the computation of the p-curvature, a classical invariant of primary importance attached to differential operations in characteristic p. The first important result of this thesis is an algorithm computing, for a given operator L in characteristic 0 and an integer N , all the characteristic polynomials of the p-curvatures of its reduction modulo p, for all primes p ⩽ N. The second part of the thesis is dedicated to the factorisation itself. We use the Azumaya algebra structure to show that finding irreducible right irreducible factors reduces to solving the p-Riccati equationc f^{ (p−1) }+ f^p = a^p in K[a], where a is a suitable algebraic function over K. This observation leads to two important algorithms. The first one is an application of the global-local principle which eventually provides a polynomial time irreducibility test for differential operators. The second one is an actual resolution algorithm for the p-Riccati equation that uses tools of algebraic geometry for curves such as Riemann-Roch spaces and Picard group. We perform a complexity analysis of this algorithm, and show that the p-Riccati equation always admits a solution whose size is comparable to that of the parameter a. As a byproduct, this algorithm makes the factorisation of central operators possible (a situation which was often left aside) and lower the size of right factors of general operators by a factor p compared to previous works. We finally deduce a full factorisation algorithm for differential operators of positive characteristic.
L’étude des opérateurs différentiels linéaires est une partie importante de l’étude algébrique des équations différentielles. Les anneaux d’opérateurs différentiels linéaires partagent de nombreuses propriétés avec les anneaux de polynômes, mais le caractère non commutatif de la multiplication rend la conception d’algorithmes de factorisation plus compliquée. L’objet de cette thèse est le développement d’un algorithme calculant un facteur droit irréductible d’un opérateur différentiel linéaire donné dont les coefficients sont des éléments d’un corps de fonctions algébriques de caractéristique p. La situation diffère grandement du problème analogue en caractéristique 0 car les corps de fonctions algébriques de caractéristique positive sont de dimension finie sur leur corps des constantes. De ceci découle une structure additionnelle d’algèbre d’Azumaya qui fournit des outils supplémentaires pour attaquer le problème de la factorisation. Une première étape est le calcul de la p-courbure, un invariant classique de première importance des opérateurs différentiels en caractéristique p. Le premier résultat significatif de cette thèse est un algorithme calculant, pour un opérateur différentiel L en caractéristique 0 et un entier N ∈ N donnés, tous les polynômes caractéristiques des p-courbures des réductions de L modulo p, pour tous les nombres premiers p ⩽ N. La deuxième partie de la thèse est consacrée à la factorisation en elle-même. Nous utilisons la structure d’algèbre d’Azumaya pour montrer que la recherche de facteurs irréductibles à droite revient à la résolution de l’équation de p-Riccati f^{ (p−1) }+ f^p = a^p dans K[a], où a est une certaine fonction algébrique sur K. Cette observation nous permet de développer deux algorithmes importants. Le premier est une application du principe global-local conduisant à un test d’irréductibilité de complexité polynomiale pour les opérateurs différentiels. Le second est un algorithme de résolution de l’équation de p-Riccati utilisant plusieurs outils de la géométrie algébriques pour les courbes, dont les espaces de Riemann-Roch et les groupes de Picard. Nous effectuons une analyse de complexité approfondie de cet algorithme et montrons que l’équation de p-Riccati admet toujours une solution dont la taille est comparable à celle du paramètre a. Cet algorithme rend en particulier possible la factorisation des opérateurs centraux (un cas qui a souvent été laissée de côté par le passé) et diminue la taille des facteurs droits irréductibles d’opérateurs différentiels linéaires d’un facteur p en comparaison des travaux précédents. On en déduit finalement un algorithme de factorisation complet pour les opérateurs différentiels linéaires de caractéristique positive.
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tel-04490793 , version 1 (05-03-2024)

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  • HAL Id : tel-04490793 , version 1

Citer

Raphaël Pagès. Factoring differential operators in positive characteristic.. Mathematics [math]. Université de Bordeaux, 2024. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04490793⟩
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