Factoring differential operators in positive characteristic.
Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive.
Résumé
The study of linear differential operators is an important part of the
algebraic study of differential equations. Rings of linear differential operators share
many properties with rings of polynomials, but the noncommutative aspect of the
multiplication makes the design of factorisation algorithms harder. This thesis
focuses mainly on developing an algorithm computing an irreducible right factor of a
given linear differential operator with coefficients in an algebraic function field of
positive characteristic p. The situation differs greatly from the same problem in
characteristic 0 because algebraic function fields of characteristic p are finite
dimensional over their field of constants. This simple fact provides the ring of
differential operators in characteristic p with an additional structure of Azumaya
algebra, which gives additional tools to attack our problem. A first step in this
direction is the computation of the p-curvature, a classical invariant of primary
importance attached to differential operations in characteristic p. The first important
result of this thesis is an algorithm computing, for a given operator L in characteristic
0 and an integer N , all the characteristic polynomials of the p-curvatures of its
reduction modulo p, for all primes p ⩽ N. The second part of the thesis is dedicated to
the factorisation itself. We use the Azumaya algebra structure to show that finding
irreducible right irreducible factors reduces to solving the p-Riccati equationc
f^{ (p−1) }+ f^p = a^p
in K[a], where a is a suitable algebraic function over K. This observation leads to two
important algorithms. The first one is an application of the global-local principle which
eventually provides a polynomial time irreducibility test for differential operators. The
second one is an actual resolution algorithm for the p-Riccati equation that uses tools
of algebraic geometry for curves such as Riemann-Roch spaces and Picard group.
We perform a complexity analysis of this algorithm, and show that the p-Riccati
equation always admits a solution whose size is comparable to that of the parameter
a. As a byproduct, this algorithm makes the factorisation of central operators possible
(a situation which was often left aside) and lower the size of right factors of general
operators by a factor p compared to previous works. We finally deduce a full
factorisation algorithm for differential operators of positive characteristic.
L’étude des opérateurs différentiels linéaires est une partie importante
de l’étude algébrique des équations différentielles. Les anneaux d’opérateurs
différentiels linéaires partagent de nombreuses propriétés avec les anneaux de
polynômes, mais le caractère non commutatif de la multiplication rend la conception
d’algorithmes de factorisation plus compliquée. L’objet de cette thèse est le
développement d’un algorithme calculant un facteur droit irréductible d’un opérateur
différentiel linéaire donné dont les coefficients sont des éléments d’un corps de
fonctions algébriques de caractéristique p. La situation diffère grandement du
problème analogue en caractéristique 0 car les corps de fonctions algébriques de
caractéristique positive sont de dimension finie sur leur corps des constantes. De
ceci découle une structure additionnelle d’algèbre d’Azumaya qui fournit des outils
supplémentaires pour attaquer le problème de la factorisation.
Une première étape est le calcul de la p-courbure, un invariant classique de première
importance des opérateurs différentiels en caractéristique p. Le premier résultat
significatif de cette thèse est un algorithme calculant, pour un opérateur différentiel L
en caractéristique 0 et un entier N ∈ N donnés, tous les polynômes caractéristiques
des p-courbures des réductions de L modulo p, pour tous les nombres premiers p ⩽
N.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à la factorisation en elle-même. Nous
utilisons la structure d’algèbre d’Azumaya pour montrer que la recherche de facteurs
irréductibles à droite revient à la résolution de l’équation de p-Riccati
f^{ (p−1) }+ f^p = a^p
dans K[a], où a est une certaine fonction algébrique sur K. Cette observation nous
permet de développer deux algorithmes importants. Le premier est une application
du principe global-local conduisant à un test d’irréductibilité de complexité
polynomiale pour les opérateurs différentiels. Le second est un algorithme de
résolution de l’équation de p-Riccati utilisant plusieurs outils de la géométrie
algébriques pour les courbes, dont les espaces de Riemann-Roch et les groupes de
Picard. Nous effectuons une analyse de complexité approfondie de cet algorithme et
montrons que l’équation de p-Riccati admet toujours une solution dont la taille est
comparable à celle du paramètre a. Cet algorithme rend en particulier possible la
factorisation des opérateurs centraux (un cas qui a souvent été laissée de côté par le
passé) et diminue la taille des facteurs droits irréductibles d’opérateurs différentiels
linéaires d’un facteur p en comparaison des travaux précédents. On en déduit
finalement un algorithme de factorisation complet pour les opérateurs différentiels
linéaires de caractéristique positive.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)