Problème de Schrödinger, inégalités fonctionnelles et transport optimal
Résumé
This document contains an overview of a large part of my work after the completion of my PhD Thesis. I have
conducted most of my research in probability theory and the common ground it shares with Riemannian geometry and some branches of analysis, optimal transport in particular. All these research fields interact naturally when looking at the family of Schrödinger problems, whose study has been at the heart of my scientific interests over the past few years. There are two central themes in this manuscript: the first one is that of showing that Schrödinger bridges solve a second order equation, i.e. an equation involving an acceleration term. Developing this theme requires to address the old question of how to properly define the acceleration of a stochastic processes and permits to enrich the already strong connections between optimal transport, in particular Otto calculus, and stochastic analysis, in particular Itô calculus. The second recurrent theme is that of quantifying by means of functional inequalities and entropy dissipation estimates the trend to equilibrium and the ergodic behavior of Markov processes, with a particular emphasis on optimally controlled diffusion processes and Markov chains on countable state spaces. I have divided this manuscript in three parts and six chapters. The first four chapters constitute the first part and are devoted to the Schrödinger problem. The second is about convex Sobolev inequalities for Markov chains and is made of one single chapter as the third part, that concentrates on the problem of defining spline curves to interpolate between probability measures
Ce mémoire est une synthèse de la majorité des mes travaux depuis la fin de ma thèse. Mon domaine principal de recherche est la théorie des probabilités et ses liens avec la géométrie Riemannienne et certaines branches de l’analyse, notamment le transport optimal. Toutes ces thématiques de recherche trouvent un terrain commun dans l’étude du problème de Schrödinger, qui est au cœur de mon activité de recherche de ces dernières années. Il y a deux thèmes récurrents dans ce manuscrit. Le premier consiste à montrer que les ponts de Schrödinger satisfont une équation du second ordre, c’est-à-dire une équation qui s’exprime à l’aide d’un terme d’accélération. Ceci m’a amené à explorer différents formalismes et à chercher à établir de nouveaux liens entre eux. Le second thème consiste à quantifier, à l’aide d’inégalités fonctionnelles et d’estimés de dissipation d’entropie, la vitesse de convergence à l’équilibre et le comportement ergodique des processus de Markov, avec un intérêt particulier pour ceux qui sont solutions optimales d’un problème de contrôle stochastique. Le mémoire est articulé en six chapitres et trois parties. La première partie, composée par les quatre premiers chapitres, est consacrée au problème de Schrödinger. La deuxième partie porte sur les inégalités convexes de Sobolev pour les chaînes de Markov est se compose d’un seul chapitre, exactement comme la troisième partie, où je traite le problème de la construction des courbes splines pour interpoler des mesures de probabilité
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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