Algebraic Walk Theory
Théorie algébrique des chemins
Résumé
While graph theory is a well established field of research in mathematics, there is no dedicated theory for graph walks. In the present work we show that such a theory is not only desirable but necessary. Our work proceeds along two different branches, which differ only with regard to the role of the initial node (the root) of a walk. Firstly, if the information on the root is retained, we show that walks are described by a non-associative permutative co-preLie bialgebra. This structure implies the existence of exact resummations on walk series, turning them into finite continued fractions known as path-sums. These, in turn, have found numerous applications, some of which we present, in particular in differential calculus and quantum dynamics. Secondly, discarding all information pertaining to the root node yields a partially commutative monoid on simple cycles called the hike monoid. We show that the combinatorics of hike monoids is described by an extension of number theory, complete with all the latter’s fundamental objects as well as their relations. This leads to novel exact enumerating formulas and concrete algorithms for counting various types of walks, in particular the simple cycles and paths of a graph. Within this framework, the prime number theorem corresponds to a long-standing open question on the asymptotic growth of the number of self-avoiding objects on infinite regular lattices. Using number theoretic sieves, we exploit this observation to obtain exact results on the number of walks with a given right divisor corresponding to current problems in percolation theory. Further applications of hike monoids in network analysis are presented. In particular we show that a theory of walks independent from graph theory is a necessity by showing that nearly all graph properties can be lost while still maintaining the monoidal structure of its walks and hikes invariant.
Alors que la théorie des graphes est un domaine de recherche bien établi en mathématiques, il n'existe pas de théorie spécifique pour les chemins. Dans ce rapport, nous montrons qu'une telle théorie est non seulement souhaitable mais nécessaire. Notre travail s'articule en deux branches distinctes, qui ne diffèrent qu'en ce qui concerne le rôle du nœud initial (la racine) d'un chemin. Tout d'abord, si l'information sur la racine est conservée, nous montrons que les chemins sont décrits par une bialgèbre permutative non-associative co-preLie. Cette structure implique l'existence de resommations exactes sur les séries de chemins, les transformant en fractions continues finies appelées path-sums. Celles-ci ont trouvé de nombreuses applications, dont certaines sont présentées ici, en particulier dans le calcul différentiel et la dynamique quantique. Deuxièmement, en éliminant toutes les informations relatives à la racine, on obtient un monoïde partiellement commutatif sur les cycles simples appelé monoïde de randonnées. Nous montrons que la combinatoire des monoïdes de randonnées est décrite par une extension de la théorie des nombres, complète avec tous les objets fondamentaux de cette dernière ainsi que leurs relations. Cela conduit à de nouvelles formules d'énumération exactes et à des algorithmes concrets pour compter divers types de randonnées, en particulier les cycles et chemins simples d'un graphe. Dans ce cadre, le théorème des nombres premiers correspond à une question ouverte de longue date sur la croissance asymptotique du nombre d'objets auto-évitants sur des treillis réguliers infinis. En utilisant des cribles de la théorie des nombres, nous exploitons cette observation pour parvenir à des résultats exacts sur le nombre de chemins avec un diviseur à droite donné, ce qui correspond à des problèmes actuels en théorie de la percolation. D'autres applications des monoïdes de randonnées dans l'analyse des réseaux sont présentées. En particulier, nous montrons qu'une théorie des chemins indépendante de la théorie des graphes est une nécessité en montrant que presque toutes les propriétés des graphes peuvent être perdues tout en conservant la structure monoïdale de ses chemins et randonnées.
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