Etales groupoids and higher index theory
Groupoïdes étales et théorie de l'indice supérieur
Résumé
The aim of this thesis is to develop a higher index theory for proper and co-compact actions of ample groupoids following John Roe's approach. To achieve this goal, we introduce all the necessary tools, in particular, the notion of admissible representation, controlled operators, and equivariant Roe C*-algebra. We also present the notion of simplicial complex under the action of an étale groupoid and show the existence of admissible representation in this context. We prove that the K-theory of the equivariant Roe C*-algebra does not depend, up to canonical isomorphism, on the chosen admissible representation. This result allows for an unambiguous definition of an equivariant coarse higher index map for admissible K-cycles. Finally, we establish a connection between this coarse higher index and the Baum-Connes assembly map for a groupoid.
L'objectif de cette thèse est de développer une théorie de l'indice supérieur à la John Roe pour les actions propres et co-compactes de groupoïdes amples. Pour y parvenir, nous introduisons tous les outils nécessaires, notamment la notion de représentation admissible, d'opérateurs contrôlés et de C*-algèbre de Roe équivariantes. Nous présentons également la notion de complexe simplicial sous l'action d'un groupoïde étale et démontrons l'existence de représentations admissibles dans ce cadre. Nous prouvons que la K-théorie de la C*-algèbre de Roe équivariante ne dépend pas, à isomorphisme canonique près, de la représentation admissible choisie. Ce résultat permettra de définir un indice supérieur coarse équivariant pour des K-cycles admissibles de manière univoque. Enfin, nous établissons un lien entre cet indice supérieur coarse et l'application d'assemblage de Baum-Connes pour un groupoïde.
Origine : Version validée par le jury (STAR)