Theory and Construction of Structure Preserving Integrators in Poisson Geometry
Théorie et construction de méthodes numériques préservant la structure en géométrie de Poisson
Résumé
We introduce for any Poisson structure on a manifold the notion of bi-realisation and illustrate it by examples. We define Hamiltonian Poisson integrators as Poisson integrators for which discrete trajectory follows the flow of a time-dependent Hamiltonian. Next, a construction of a Hamiltonian Poisson integrator for generic Poisson structure, Hamiltonian H, order k and time-step t are given via any truncation at order k of the Hamilton-Jacobi transform S¬t(H) of the Hamiltonian H on a bi-realisation of the Poisson structure. We also define the Farmer sequence and we explain how it gives explicit recursive formulae to solve Hamilton-Jacobi equation at an arbitrary order. We explain how local symplectic groupoids provide a geometric interpretation of the notion of bi-realisation. We define for any time-dependent Hamiltonian H its Magnus series to construct, for any Hamiltonian Poisson integrator, a modified Hamiltonian. To conclude, we compare our integrators with Runge-Kutta methods on the example of rigid body dynamics and Lotka-Volterra differential equations, in particular on long run simulations. In Dirac geometry, we introduce the canonical horizontal 2-cocycle of a Dirac structure. Under the sufficiency condition of its exactness, we exhibit for any Hamiltonian H a functional for which critical points are exactly integral curves of Hamiltonian vector fields of H. We also deduce from the previous result a generalisation of the Legendre transform to Dirac structures.
Nous introduisons pour toute structure de Poisson sur une variété la notion de bi-réalisation et l'illustrons par des exemples. Nous définissons les intégrateurs de Poisson hamiltoniens comme des intégrateurs de Poisson dont la trajectoire discrète suit le flot d'un hamiltonien dépendant du temps. Ensuite, une construction d'intégrateur de Poisson hamiltonien pour une structure de Poisson, un Hamiltonien H, un ordre k et un pas de temps t quelconques est donnée via une troncature à l'ordre k de la transformée de Hamilton-Jacobi S¬t(H) de H sur une bi-réalisation de la structure de Poisson. Nous définissons aussi la suite de Farmer et expliquons comment elle permet de résoudre explicitement l'équation de Hamilton-Jacobi à un ordre arbitraire. Nous expliquons comment les groupoïdes symplectiques locaux fournissent une interprétation géométrique de la notion de bi-réalisation. Nous définissons pour tout hamiltonian dépendant du temps H sa série de Magnus, pour construire pour tout intégrateur hamiltonien de Poisson un hamiltonien modifié. En conclusion, nous comparons nos intégrateurs avec des méthodes de Runge-Kutta sur les exemples du solide rigide et des équations différentielles de Lodka-Volterra, en particulier concernant leur comportement à long terme. En géométrie de Dirac, nous introduisons le 2-cocyle horizontal canonique d'une structure de Dirac. Sous la condition suffisante de son exactitude, nous exhibons pour tout hamiltonien H une fonctionnelle pour laquelle les points critiques sont exactement les courbes intégrales des champs de vecteurs hamiltoniens de H. Nous déduisons aussi du résultat précédent une généralisation de la transformée de Legendre aux structures de Dirac.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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