Polyadic Approximations in Logic and Computation
Résumé
This document presents some aspects of the research the author carried out roughly between 2012 and 2017. For the sake of uniformity, we chose to focus on a single subject, that of polyadic approximations and their applications to quantitative program analysis and computational complexity. Introduced by Girard, the notion of polyadic approximation is at the basis of a rich theory, with many consequences and applications. We develop it in this thesis, according to the following plan. We start by introducing a 2-operadic approach to the syntax of programming languages, and prove a computational version of Girard's approximation theorem, inducing the notion of polyadic approximation used in the rest of the thesis. We then apply this notion to intersection type systems and computational complexity, concluding with a reformulation of the proof of the Cook-Levin theorem (the result stating that the satisfiability problem is NP-complete) purely in terms of programming languages, approximations and type systems.
Ce mémoire est une synthèse des recherches effectuée par l'auteur dans la période 2012-2017 environ. Dans un souci de cohérence thématique, nous avons choisi de nous concentrer sur la notion d'approximation polyadique. Introduite, pour l'essentiel, par Girard en même temps que la logique linéaire, cette notion s'avère être la base d'une théorie riche de conséquences et applications. Nous la développons dans ce mémoire, selon le parcours suivant. Nous commençons par introduire une approche 2-opéradique de la syntaxe des langages de programmation, et nous démontrons une version calculatoire du théorème d'approximation de Girard, induisant la notion d'approximation polyadique étudiée dans le reste du mémoire. Ensuite, nous appliquons cette notion à l'étude de types intersection et de la complexité algorithmique, en concluant avec une reformulation de la preuve du théorème de Cook-Levin (le résultat affirmant que la satisfaisabilité est un problème NP-complet) entièrement en termes de langages de programmations, approximations et systèmes de types.
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