Symbolic dynamical systems in topological spaces defined via edit distances
Systèmes dynamiques symboliques dans des espaces définis à partir de distances d'édition.
Résumé
In this thesis, we study symbolic dynamical systems on spaces defined from edit
distances, in particular the spaces of Besicovitch and Weyl. These are metric spaces
defined using pseudo-metrics and quotients by the relation of pseudo-metric zero.
For this purpose, we start by studying these two pseudo-metrics which depend
on the Hamming distance. We give a generalization of these two pseudo-metrics
(centered and sliding) by replacing the Hamming distance by any distance defined on
the set of finite words. Then, we present some properties of these two pseudo-metrics:
measurability, continuity, shift invariance and behavior on periodic configurations.
On the other hand, these two pseudo-metrics are defined as an upper limit. For this
reason, we study the existence of the limit for each pseudo-metric. We show that the
centered pseudo-metric is not always a limit. Moreover, we show that in some class
of subshifts equipped with the Cantor topology, the set where the centered pseudo-
metric reaches the maximum and the lower limit is zero is a dense G δ . Furthermore, we
show that the set where this pseudo-metric is a limit is of full measure for any weakly-
mixing measure and that this limit does not depend on the choice of configurations. In
contrast, we show that the sliding pseudo-metric is always a limit. Moreover, in some
class of subshifts equipped with the Cantor topology, the set where this pseudo-metric
reaches the maximum is a dense G δ . In addition, the set where this pseudo-metric is
maximum (within the support of a weakly-mixing measure) is of full measure.
Finally, we give a first study of dill maps (which generalize cellular automata and
substitutions) over the Besicovitch, Weyl and the Feldman-Katok spaces (the latter
is obtained by changing the Hamming distance by that of Levenshtein). We prove
that all dill maps are well-defined over the Feldman-Katok space, in contrast to the
Besicovitch and the Weyl spaces where only uniform and constant dill maps are well
defined. Furthermore, we show that the Feldman-Katok space is a suitable playground
to study the dynamics of dill maps. Indeed, we prove that the shift is equal to the
identity, there are no expansive cellular automata, every substitution admits at least
one equicontinuous point.
Dans cette thèse, on étudie des systèmes dynamiques symboliques sur des espaces
définis à partir de distances d’édition, notamment les espaces de Besicovitch et de
Weyl. Ces derniers sont des espaces métriques quotients définis à partir des pseudo-
métriques et quotientés par la relation d’équivalence de pseudo-métrique zéro.
À cet effet, nous commençons par étudier ces deux pseudo-métriques qui sont
définies à partir de la distance de Hamming. Nous donnons une généralisation de ces
deux pseudo-métriques (centrée et glissante) en remplaçant la distance de Hamming
par toute distance définie sur l’ensemble de mots finis. Ensuite, nous présentons
certaines propriétés de ces deux pseudo-métriques: la mesurabilité, la continuité,
l’invariance par le décalage et le comportement sur les configurations périodiques.
D’autre part, ces deux pseudo-métriques sont définies en tant que une limite
supérieure. Pour cette raison, on étudie l’existence de la limite pour chaque pseudo-
métrique. Nous montrons, que la pseudo-métrique centrée n’est pas toujours une
limite, en montrant que dans certain type de sous-shift muni de la topologie de Cantor,
l’ensemble où la pseudo-métrique centrée est maximale et la limite inférieure est nulle
est résiduel. Cependant, nous montrons que l’ensemble où cette pseudo-métrique
est une limite est de mesure pleine pour toute mesure faiblement mélangeante et que
cette limite ne dépend pas du choix des configurations. À l’inverse, nous montrons que
la pseudo-métrique glissante est en fait toujours une limite; dans une certaine classe
de sous-shift munis de la topologie de Cantor, l’ensemble où cette pseudo-métrique
est maximale est un G δ dense. De plus, l’ensemble où cette pseudo-métrique est
maximale est de mesure pleine si la mesure est faiblement mélangeante.
Finalement, nous donnons une première étude des dill maps (qui généralisent
les automates cellulaires et les substitutions) sur les espaces de Besicovitch, Weyl et
Feldman-Katok (ce dernier est obtenu en changeant la distance de Hamming par celle
de Levenshtein). Nous prouvons que toutes les dill maps sont bien définies dans ce
dernier, contrairement aux espaces de Besicovitch et de Weyl où seulement les dill
maps uniformes et constantes sont bien définies. De plus, nous montrons que l’espace
de Feldman-Katok est pertinent pour étudier la dynamique des dill maps : nous
prouvons que le décalage est égal à l’identité, qu’il n’existe pas d’automates cellulaires
expansifs, que chaque substitution admet au moins un point d’équicontinuité.
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