Équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits de Lévy : systèmes de particules en interaction de type champ moyen et processus de McKean-Vlasov - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Lévy-driven Stochastic differential equations: mean-field interacting particle systems and McKean-Vlasov processes

Équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits de Lévy : systèmes de particules en interaction de type champ moyen et processus de McKean-Vlasov

Résumé

This thesis is mainly devoted to the study of nonlinear Stochastic Differential Equations (SDE), in the sense of McKean-Vlasov. The driving noises that we consider are Lévy processes, mostly stable processes. We are interested in quantifying the propagation of chaos, in the weak sense, for the associated mean-field interacting particle system, under Hölder assumptions on the coefficients. This is achieved through the study of the semigroup, acting on functions defined on the space of probability measures, associated with the McKean-Vlasov SDE. In particular, we exhibit regularizing properties of the semigroup, and we describe its dynamics thanks to Itô's formula along a flow of probability measures. This formula is one of the crucial tools of this thesis. Firstly, we prove it for a large class of jump processes. Secondly, we prove, relying on Krylov's inequality, Itô's formula along a flow of probability measures for functions belonging to a Sobolev-type space. In the last part of this thesis, we are interested in a specific time-inhomogenous kinetic system, which is driven by a stable process. We study its asymptotic behavior after rescaling.
Cette thèse porte en grande partie sur l'étude des Équations Différentielles Stochastiques (EDS) non-linéaires au sens de McKean-Vlasov. Les bruits directeurs que nous considérons sont des processus de Lévy, en grande majorité des processus stables. On s'intéresse à quantifier la propagation du chaos au sens faible pour le système de particules en interaction de type champ moyen associé, sous des hypothèses höldériennes sur les coefficients. Cela se fait à travers l'étude du semi-groupe, agissant sur les fonctions définies sur l'espace des mesures de probabilité, associé à l'EDS de McKean-Vlasov. En particulier, on exhibe des propriétés régularisantes du semi-groupe, et on décrit sa dynamique grâce à la formule d'Itô le long d'un flot de mesures de probabilités. Cette formule est l'un des outils importants de cette thèse. Premièrement, on la prouve pour une grande classe de processus à sauts. Deuxièmement, on prouve, grâce à l'inégalité de Krylov, la formule d'Itô le long d'un flot de mesures pour des fonctions appartenant à un espace de type Sobolev. Dans la dernière partie de cette thèse, on s'intéresse à un système cinétique inhomogène en temps spécifique, qui est dirigé par un processus stable. On étudie son comportement asymptotique après changement d'échelle.
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tel-04146102 , version 1 (29-06-2023)

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  • HAL Id : tel-04146102 , version 1

Citer

Thomas Cavallazzi. Équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits de Lévy : systèmes de particules en interaction de type champ moyen et processus de McKean-Vlasov. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Rennes, 2023. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04146102⟩
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