Computing with Extensionality Principles in Type Theory
Calculer avec des Principes d'Extensionnalité en Théorie des Types
Résumé
In this thesis, I study several possibilities to extend intuitionistic type theory with extensionality principles, such as function extensionality or Voevodsky's univalence axiom, while preserving the computational properties of the proofs. In the first part, I develop a complete meta-theory for the observational equality of Altenkirch et al. In particular, I obtain a formal proof of normalization, canonicity and decidability of the conversion for an observational type theory with impredicative proof-irrelevant propositions. Then in a second part, I sketch a translation from homotopy type theory to observational type theory based on the model of Coquand et al in cubical sets. Finally, in the last part I explain how to take advantage of the computational properties of cubical type theory to obtain elegant synthetic proofs of classical results from homotopy theory, in particular the construction of the Hopf fibration and the 3x3 lemma for homotopy pushouts.
Dans cette thèse, j'étudie plusieurs manières d'étendre la théorie des types intuitionniste avec des principes d'extensionnalité, comme par exemple l'extensionnalité des fonctions ou l'axiome d'univalence de Voevodsky, en portant une attention particulière à la préservation des propriétés calculatoires des preuves. Dans une première partie, je développe une méta-théorie complète pour l'égalité observationnelle de Altenkirch et al. J'obtiens notamment une preuve formelle de normalisation, de canonicité et de décidabilité de la conversion pour une théorie des types observationnelle avec des propositions imprédicatives. Dans une seconde partie, j'esquisse une traduction de la théorie des types homotopique vers la théorie des types observationnelle, en me basant sur le modèle cubique de Coquand et al. Enfin dans une dernière partie, j'explique comment tirer parti des propriétés calculatoires de la théorie des types cubique pour obtenir des preuves synthétiques élégantes de résultats classiques de la théorie de l'homotopie, notamment la construction de la fibration de Hopf et le lemme 3x3 pour les sommes amalgamées homotopiques.