Incremental stability and applications for nonlinear control systems
Stabilité incrémentale et applications pour systèmes de contrôle non linéaires
Résumé
This thesis deals with the notion of incremental stability and its application in the context
of control design for nonlinear systems. The manuscript is divided into four main chapters,
each of them dealing with different topics but strictly related among them. In the first
chapter, we study the notion of incremental stability for nonlinear control systems. In
short, a system is said to be incrementally stable if trajectories starting from different
initial conditions asymptotically converge towards each other. Such a notion is of interest
due to several properties that incrementally stable systems share, such as periodicity of
trajectories, robustness with respect to external perturbations, and many others. Among
the different tools to study such a notion, we focus on the so-called (Riemaniann) ‘metricbased’
approach. Despite the theory of incrementally stable systems is receiving a lot
of interest from the worldwide control community, several open questions need to be
answered yet, concerning the analysis of incremental properties and the feedback control
design achieving incremental stability.
In the second chapter, we focus on the output regulation problem. The goal is to design
a (dynamic) control law such that the output of a nonlinear system can asymptotically
track a reference and, at the same time, reject perturbations. In particular, we aim to
achieve “global” output regulation, meaning that the regulation task must be achieved
independently of the initial conditions and on the amplitude of the external signals. The
challenge is to guarantee the existence of a steady-state solution on which the regulation
error is zero for every value of the external signals, and the convergence of trajectories
towards such a solution for every initial condition. While tools achieving regulation for
minimum phase systems in normal form are well developed, much less is known for more
general classes of systems, especially when global regulation is the goal. Therefore, new
tools need to be developed. In our approach, in particular, we cast the regulation task
into the incremental framework and we tackle the problem with tools derived from the
first chapter of the manuscript.
In the third chapter, we focus on the multiagent synchronization problem. Here, we
consider a group of single identical entities which communicate among them through a
communication protocol. The objective is the design of a distributed coupling control law
such that these entities reach an agreement on their state evaluation. While the theory for
linear systems is well developed, many questions remain open for nonlinear ones. In our
approach, we cast the synchronization problem into the incremental framework. Such a choice is motivated by the fact that, if agents are described by the same dynamical model,
then the synchronization problem corresponds to the design of a distributed control law
such that different trajectories of the same differential equation asymptotically converge
towards each other.
In the fourth and last chapter, we focus on two practical applications. In particular, we
consider two separate problems. The first problem is a robust output set-point tracking
problem for a power flow controller. A power flow controller is an electric circuit whose
role is to regulate the power of the lines to which it is attached, despite the uncertainties
of the plant parameters and of the references to be tracked. The second problem is a
periodic trajectory tracking for a ventilation machine. A ventilation machine is a piece of
medical equipment used to support patients breathing. The objective here is to design a
control law such that the machine can track a periodic pressure signal representing the
breathing phase, despite the uncertainties in the plant.
At the end of the last chapter, a summary of the thesis written in French is present.
Cette th`ese traite la notion de stabilit´e incr´ementale et son application dans le
contexte de la conception de commandes pour des syst`emes non lin´eaires. Le
manuscrit est divis´e en quatre chapitres principaux, chacun d’entre eux traitant
de sujets diff´erents mais strictement li´es entre eux. Dans le premier chapitre,
nous ´etudions la notion de stabilit´e incr´ementale pour les syst`emes de contrˆole non
lin´eaires. Plus pr´ecis´ement, on dit qu’un syst`eme est stable de mani`ere incr´ementale
si diff´erentes trajectoires du mˆeme syst`eme convergent asymptotiquement entre
elles. Une telle notion est int´eressante en raison de certaines propri´et´es que les
syst`emes incr´ementalement stables partagent, telles que la p´eriodicit´e des trajectoires,
la robustesse par rapport aux perturbations externes et bien d’autres. Parmi
les diff´erents outils permettant d’´etudier une telle notion, nous nous concentrons
sur l’approche dite ‘m´etrique’ (Riemannienne). Bien que la th´eorie des syst`emes
incr´ementalement stables suscite beaucoup d’int´erˆet de la part de la communaut´e
mondiale des contrˆoleurs, plusieurs questions ouvertes doivent encore ˆetre r´esolues,
concernant l’analyse des propri´et´es incr´ementales et la conception des commandes
en boucle ferm´ee permettant d’atteindre la stabilit´e incr´ementale.
Dans le deuxi`eme chapitre, nous nous concentrons sur le probl`eme de la r´egulation
de la sortie. L’objectif est de concevoir une loi de commande (dynamique) telle que
la sortie d’un syst`eme non lin´eaire soit capable de suivre asymptotiquement une
r´ef´erence et, en mˆeme temps, de rejeter les perturbations externes. En particulier,
nous cherchons `a obtenir une r´egulation ‘globale’ de la sortie, ce qui signifie que la
tˆache de r´egulation doit ˆetre accomplie ind´ependamment de la condition initiale et
de l’amplitude des signaux externes. Le challenge est de garantir l’existence d’une
solution en r´egime permanent sur laquelle l’erreur de r´egulation est nulle pour toute
valeur des signaux externes, et la convergence des trajectoires d’une telle solution
pour toute condition initiale. Si les outils permettant d’obtenir une r´egulation pour
les syst`emes `a phasage minimal sous forme normale sont bien d´evelopp´es, on en sait
beaucoup moins pour des classes de syst`emes plus g´en´erales, en particulier lorsque la
r´egulation globale est le but recherch´e. Par cons´equent, de nouveaux outils doivent
ˆetre d´evelopp´es. Dans notre approche en particulier, nous pla¸cons le probl`eme de la
r´egulation dans le cadre incr´emental. Dans le troisi`eme chapitre, nous nous concentrons sur le probl`eme de la synchronisation
multi-agents. Ici, nous consid´erons un groupe d’entit´es identiques qui communiquent
entre elles par le biais d’un protocole de communication. L’objectif ici, est
la conception d’une loi de contrˆole du couplage distribu´e tel que ces entit´es parviennent
`a un consensus. Alors que la th´eorie des syst`emes lin´eaires est bien d´evelopp´ee,
de nombreuses questions restent ouvertes pour les syst`emes non lin´eaires ayant une
formulation g´en´erale. Dans notre approche, nous pla¸cons le probl`eme de synchronisation
dans un cadre incr´emental. Ce choix est motiv´e par le fait que, si les agents
sont d´ecrits par le mˆeme mod`ele, alors le probl`eme de synchronisation correspond `a
la conception d’une loi de contrˆole distribu´ee telle que diff´erentes trajectoires de la
mˆeme ´equation diff´erentielle convergent asymptotiquement entre elles.
Dans le quatri`eme et dernier chapitre, nous nous concentrons sur deux applications
pratiques. En particulier, nous consid´erons deux probl`emes distincts. Le premier
probl`eme est un probl`eme du suivi du point de consigne pour un contrˆoleur de flux
de puissance. Un contrˆoleur de flux de puissance est un circuit ´electrique dont le
rˆole est de r´eguler la puissance sur les lignes auxquelles il est attach´e, malgr´e les
incertitudes param´etriques de la centrale et sur les r´ef´erences `a suivre. Le second
probl`eme est un suivi de trajectoire p´eriodique pour une machine de ventilation. Une
machine de ventilation est un ´equipement m´edical utilis´e pour aider les patients `a
respirer. L’objectif ici, est de concevoir une loi de commande telle que la machine
soit capable de suivre un signal p´eriodique de pression repr´esentant la phase de
respiration, malgr´e l’incertitude sur les param`etres.
Mots clés
Nonlinear system
Incremental stability
Contraction
Riemannian metric
Forwarding
Linear Matrix Inequalities
Output regulation
Integral action
Harmonic regulation
Multi-agent systems
Synchronization
Deep Neural Networks
Power flow controller
Meshed microgrids
Bilinear systems
Mechanical ventilation
Medical application
Circle criterion
Lur'e systems
Systèmes non linéaires
Stabilité incrémentale
Métrique Riemanienne
Inégalité des matrices linéaires
Régulation de sortie
Action intégrale
Régulation harmonique
Systèmes multi-agents
Synchronisation
Réseau neuronal profond
Controleur de flux de puissance
Micro-réseaux maillés
Systèmes bilinéaires
Ventilation mécanique
Application médicale
Critère circulaire
Systèmes Lur’e
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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