Phase transitions in random groups: free subgroups and van Kampen 2-complexes
Transitions de phase dans groupes aléatoires : sous-groupes libres et 2-complexes de van Kampen
Résumé
In this thesis, we study phase transitions in random groups at density. A random group at density d is defined by a presentation with m generators and (2m − 1)dℓ random relations, where ℓ is the maximal length of the relations. We have two main results: one on the free subgroup problem and the other on the existence of van Kampen 2-complexes.
For any integer r between 1 and m − 1, we find a phase transition at the density dr = min{1/2 , 1 − log2m−1 (2r − 1)}: If d > dr, then the r first generators generate the whole group; if d < dr, then the r first generators generate a free subgroup. This result gives new examples of group presentations satisfying the Freiheitssatz property, with a wide variety of relation lengths.
For each 2-complex of a given geometric form, we give a critical density dc which characterizes the existence of a van Kampen 2-complex whose underlying 2-complex is the given one. In order to prove this result, we study in detail the intersection formula for random subsets and give a multidimensional version of this formula.
Dans cette thèse, nous étudions les transitions de phase dans les groupes aléatoires à densité. Un groupe aléatoire à densité d est défini par une présentation avec m générateurs et (2m − 1)dℓ relations aléatoires, où ℓ est la longueur maximale des relations. Nous avons deux résultats principaux : un sur le problème des sous-groupes libres et l’autre sur l’existence des 2-complexes de van Kampen.
Pour tout entier r entre 1 et m − 1, nous trouvons une transition de phase à la densité dr = min{1/2, 1 − log2m−1 (2r − 1)} : Si d > dr, alors les r premiers générateurs engendrent le groupe entier ; si d < dr, alors les r premiers générateurs engendrent un sous-groupe libre. Ce résultat donne de nouveaux exemples de présentations de groupes satisfaisant la propriété de Freiheitssatz, avec une grande variété de longueurs de relations.
Pour chaque 2-complexe d’une forme géométrique donnée, nous donnons une densité critique dc qui caractérise l’existence d’un 2-complexe de van Kampen dont le 2-complexe sous-jacent est celui donné. Afin de prouver ce résultat, nous étudions en détail la formule d’intersection pour les sous-ensembles aléatoires et donnons une version multidimensionnelle de cette formule..
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