Growth/collapse and decay/surge Markov processes: from population dynamics to systems of interacting neurons - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2022

Growth/collapse and decay/surge Markov processes: from population dynamics to systems of interacting neurons

Processus de Markov de type `growth/collapse' et `decay/surge': de la dynamique des populations à un système de neurones en interaction

Abstract

Can the mean time to extinction of a population be determined by its size? Can a population grow indefinitely? To try to answer these questions, we use in this thesis Markov processes with catastrophes which are tools used both in population dynamics and in neuroscience. In a first step, we studied these models with catastrophes in discrete time with a random flow and in continuous time with a deterministic flow. Conditions on the existence of the invariant measure, on the recurrence and transience of such models are found. Similarly, conditions on the finiteness of the mean time of the first extinction and the time of non-explosion of the population have been studied. In the case where there is a risk of overpopulation, the law of the time it takes for a population to exceed a (large) threshold has been given. In a second step, the point of view of the modelling has changed, the size of the population is now interpreted as the state of a neuron and disasters are considered as spikes of the neurons. This process is networked for a finite number of neurons in a first case and infinite in a second case. In the case where the number of neurons in the network is finite, the existence of a Lyapunov function allows us to obtain a non-evanescence condition for the process and the local Doeblin conditions allow the study of the recurrence of the process. When the number of neurons in the network is infinite, a perfect simulation algorithm allows the graphical construction of the process. This algorithm is used to find the recurrence criteria of the system and to show the existence of a stationary state of the process.
Peut-on déterminer le temps moyen d’extinction d’une population en fonction de la taille de la population ? Une population peut-elle croître indéfiniment ? Pour tenter de répondre à ces questions, nous utilisons dans cette thèse les processus de Markov avec catastrophes qui sont des outils utilisés à la fois en modélisation de la dynamique des populations et en neurosciences. Dans un premier temps, on a étudié ces modèles avec catastrophes en temps discret avec un flot aléatoire et en temps continu avec un flot déterministe. Des conditions sur l'existence de la mesure invariante, sur la récurrence et la transience de tels modèles sont trouvées. De même, des conditions sur la finitude du temps moyen de la première extinction et du temps de non-explosion de la population ont été étudiées. Dans le cas où il y a un risque de surpopulation, la loi du temps qu'il faut pour qu'une population dépasse une barrière seuil (assez grande) a été donnée. Dans un second temps, le point de vue de modélisation a changé, la taille de la population est interprétée comme l'état d'un neurone et les catastrophes sont considérées comme des décharges de neurones (spikes). Ce processus est mis en réseau pour un nombre de neurones fini dans un premier cas et infini dans un second cas. Dans le cas où le nombre de neurones dans le réseau est fini, l'existence d'une fonction de Lyapunov permet d'obtenir une condition de non-évanescence du processus et les conditions locales de Doeblin permettent l'étude de la récurrence du processus. Lorsque le nombre de neurones dans le réseau est infini, un algorithme de simulation parfaite permet la construction graphique du processus. Cet algorithme est utilisé pour trouver des critères de récurrence du système et montrer l'existence d'un état stationnaire du processus.
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Dates and versions

tel-03722042 , version 1 (13-07-2022)

Identifiers

  • HAL Id : tel-03722042 , version 1

Cite

Branda Goncalves. Growth/collapse and decay/surge Markov processes: from population dynamics to systems of interacting neurons. Probability [math.PR]. CY Cergy Paris Université, 2022. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03722042⟩
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