Statistical study of functional principal component analysis in uni and multivariate frameworks
Étude statistique de l’analyse en composantes principales fonctionnelle dans les cadres uni et multivarié
Résumé
This work is divided into two parts, having for common point to relate to the analysis of functional data and in particular to be interested in the questions related to the high dimension in this context. The first part concerns functional principal component analysis in the univariate case. Our approach aims to give non-asymptotic results for different projection estimators of the eigenelements of a covariance operator. We first define an estimator based on a projection operator. This operator can be seen as a raw data reconstruction step in the context of functional data analysis. minimax for a good basic choice. To this end, we set both a lower and an upper bound on the mean square error of eigenelement reconstruction. We also prove general results for the general bases. This part is concluded by numerical simulations which confirm the acuity of the approach and an application to genomic data. The second part concerns the generalization of the model to the multivariate functional case. As in the first part, our approach aims to give non-asymptotic results for the estimation of the first principal component of a multivariate random process. We first define
the covariance function and the covariance operator in the multivariate case. We then define a projection operator. Next, we show that eigen-elements can be expressed as the solution of an optimization problem, and we introduce the LASSO variant of this optimization problem and the associated plugin estimator. Finally, we evaluate the precision of the estimator. We establish a lower bound on the mean square error of
reconstruction of the eigen element, which proves that the reconstruction error of our procedure has an optimal variance term in the minimax sense.
Ce travail se décompose deux parties, ayant pour point commun de porter sur l'analyse de données fonctionnelles et en particulier de s'intéresser aux questions liées à la grande dimension dans ce contexte. La première partie concerne l'analyse en composantes principales fonctionnelle dans le cas univarié. Notre approche vise à donner des résultats non-asymptotiques pour différents estimateurs par projection des éléments propres d'un opérateur de covariance. Nous définissons d'abord un estimateur basé sur une opération de projection. Cet opérateur peut être vu comme une étape de reconstruction des données brutes dans le contexte de l'analyse des données fonctionnelles. Nous montrons que l'estimateur naïf, qui calcule les éléments propres sans régularisation après l'étape de projection, est optimal au sens minimax pour un bon choix de base. À cette fin, nous établissons à la fois une limite inférieure et supérieure sur l'erreur quadratique moyenne de reconstruction des éléments propres. Nous prouvons également des résultats généraux pour les bases générales. Cette partie est conclue par des simulations numériques qui confirment l'acuité de l'approche et une application à des données génomiques. La seconde partie concerne la généralisation du modèle au cas fonctionnel multivarié. Comme en première partie notre approche vise à donner des résultats non-asymptotiques pour l'estimation de la première composante
principale d'un processus aléatoire multivarié. Nous définissons d'abord la fonction de covariance et l'opérateur de covariance dans le cas multivarié. On définit alors un opérateur de projection. Ensuite, nous montrons que les éléments propres peuvent être exprimés comme la solution d'un problème d'optimisation, et nous introduisons la variante LASSO de ce problème d'optimisation et l'estimateur de plugin associé. Enfin, nous évaluons la précision de l'estimateur. Nous établissons une borne inférieure sur l'erreur quadratique moyenne de reconstruction de l'élément propre, ce qui prouve que l’erreur de reconstruction de notre procédure a un terme de variance optimal au sens minimax.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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