Asymptotic behavior of solutions of the elapsed time model for neural assemblies
Comportement asymptotique des solutions du modèle de temps écoulé pour les assemblages neuronaux
Résumé
The elapsed time model has been widely studied in the context of mathematical neuroscience with many open questions left. The model consists of an age-structured equation that considers the dynamics of interacting neurons described by their elapsed time since last discharge. Our interest lies in weakly connected networks where mathematical tools such as the Entropy method and Doeblin’s theory have proved to be useful methods in proving convergence to steady state, and highly connected networks leading to strong nonlinearities where classical perturbation methods do not apply. Moreover, we are interested in extensions of the elapsed time model by incorporating new variables such
as the elapsed time since penultimate discharge and the spatial dependence with learning processes via the change in the interconnections. To deal with this problem of strong interconnections in the elapsed time model, we choose a particular case which can be reduced to delay differential equations and we prove a general convergence result to a stationary state in the inhibitory and the weakly excitatory cases. In addition, we prove the existence of particular periodic solutions with jump discontinuities in the strongly excitatory case.
In the first extension of the classical elapsed time model we incorporate the elapsed since the penultimate discharge, obtaining a more complex system of integro-differential equations. For this new system we prove convergence to stationary state by means of Doeblin’s theory in the case of weak nonlinearities in an appropriate functional setting, inspired by the case of the classical elapsed time equation. We also aim to study how the incorporation of this new elapsed time may change the general dynamics of the system.
In the second extension we focus on incorporating the spatial dependence (e.g. position of neurons across the cortex) and some learning processes to the classical elapsed time model. The learning rules that we consider are essentially inspired from the Hebbian rule, which is a classical principle in modeling the process of learning. We then obtain a new system of integro-differential equations, from which we analyze the convergence to stationary states by the means of entropy method and Doeblin’s theory in the case of weak interconnections. We also consider the situation where neural activity is faster than the learning process and give conditions where one can approximate the dynamics by a solution with a similar profile of a steady state. For each model we present some numerical simulations to observe how the parameters of the system can give different behaviors and pattern formations in order to contrast them with the theoretical results.
Le modèle du temps écoulé a été largement étudié dans le contexte des neurosciences mathématiques, mais de nombreuses questions restent ouvertes. Le modèle consiste en une équation structurée par âge qui considère la dynamique des neurones en interaction décrite par leur temps écoulé depuis la dernière décharge. Nous nous intéressons aux réseaux faiblement connectés pour lesquels des outils mathématiques tels que la méthode de l’entropie et la théorie de Doeblin se sont avérés utiles pour prouver la convergence vers un état stable, et aux réseaux hautement connectés conduisant à de fortes non-linéarités pour lesquels les méthodes classiques de perturbation ne s’appliquent pas. De plus, nous nous intéressons aux extensions du modèle de temps écoulé en incorporant de nouvelles variables telles que le temps écoulé depuis la pénultième décharge et la dépendance spatiale avec les processus d’apprentissage via le changement des interconnexions.
Pour traiter le problème des interconnexions fortes dans le modèle du temps écoulé, nous choisissons un cas particulier qui peut être réduit à des équations différentielles à retard et nous prouvons un résultat général de convergence vers un état stationnaire dans les cas inhibiteurs et faiblement excitateurs. En outre, nous prouvons l’existence de solutions périodiques particulières avec des discontinuités de saut dans le cas fortement excitateur. Dans la première extension du modèle classique du temps écoulé, nous incorporons le temps écoulé depuis l’avant-dernière décharge, obtenant ainsi un système plus complexe d’équations intégro-différentielles. Pour ce nouveau système, nous prouvons la convergence vers l’état stationnaire au moyen de la théorie de Doeblin dans le cas de non-linéarités faibles dans un cadre fonctionnel approprié, inspiré du cas de l’équation classique du temps écoulé. Nous cherchons également à étudier comment l’incorporation de ce nouveau temps écoulé peut modifier la dynamique générale du système.
Dans la deuxième extension, nous nous concentrons sur l’incorporation de la dépendance spatiale (par exemple, la position des neurones dans le cortex) et de certains processus d’apprentissage au modèle classique du temps écoulé. Les règles d’apprentissage que nous considérons sont essentiellement inspirées de la règle de Hebb, qui est un principe classique dans la modélisation du processus d’apprentissage. Nous
obtenons alors un nouveau système d’équations intégro-différentielles, dont nous analysons la convergence vers des états stationnaires au moyen de la méthode de l’entropie et de la théorie de Doeblin dans le cas d’interconnexions faibles. Nous considérons également la situation où l’activité neuronale est plus rapide que le processus d’apprentissage et nous donnons les conditions dans lesquelles on peut approximer la dynamique par une solution avec un profil similaire à un état stationnaire. Pour chaque modèle, nous présentons quelques simulations numériques afin d’observer comment les paramètres du système peuvent donner des comportements et des formations de modèles différents afin de les contraster avec les résultats théoriques.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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