Weak regularization by degenerate Lévy noise and its applications
Régularisation faible par un bruit de Lévy dégénéré et applications
Résumé
After a general introduction about the regularization by noise phenomenon in the degenerate setting, the first part of this thesis focuses at establishing the Schauder estimates, a useful analytical tool to prove also the well-posedness of stochastic differential equations (SDEs), for two different classes of Kolmogorov equations under a weak Hörmander-like condition, whose coefficients lie in suitable anisotropic Hölder spaces with multi-indices of regularity. The first class considers a nonlinear system controlled by a symmetric stable operator acting only on some components. Our method of proof relies on a perturbative approach based on forward parametrix expansions through Duhamel-type formulas. Due to the low regularizing properties given by the degenerate setting, we also exploit some controls on Besov norms, in order to deal with the non-linear perturbation. As an extension of the first one, we also present Schauder estimates associated with a degenerate Ornstein-Uhlenbeck operator driven by a larger class of stable-like operators, like the relativistic or the Lamperti stable one. The proof of this result relies instead on a precise analysis of the behaviour of the associated Markov semigroup between anisotropic Hölder spaces and some interpolation techniques.
Exploiting a backward parametrix approach, the second part of this thesis aims at establishing the well-posedness in a weak sense of a degenerate chain of SDEs driven by the same class of stable-like processes, under the assumptions of the minimal Hölder regularity on the coefficients. As a by-product of our method, we also present Krylov-type estimates of independent interest for the associated canonical process. Finally, we emphasize through suitable counter-examples that there exists indeed an (almost) sharp threshold on the regularity exponents ensuring the weak well-posedness for the SDE.
In connection with some mechanical applications for kinetic dynamics with friction, we conclude by investigating the stability of second-order perturbations for degenerate Kolmogorov operators in Lp and Hölder norms.
Après une introduction générale sur le phénomène de régularisation par le bruit dans le cadre dégénéré, la première partie de cette thèse est consacrée à l'obtention d'estimées de Schauder, un outil analytique utile pour établir le caractère bien posé des équations différentielles stochastiques (EDS), pour deux différents classes d'équations de Kolmogorov sous une condition de type Hörmander faible, dont les coefficients appartiennent à des espaces de Holder anisotropes appropriés avec des multi-indices de régularité.
La première classe considère un système non linéaire dirigé par un opérateur stable symétrique agissant uniquement sur certaines composantes. Notre méthode de preuve repose sur une approche perturbative basée sur des développements parametrix progressifs par des formules de type Duhamel. En raison des faibles propriétés de régularisation données par le cadre dégénéré, nous exploitons également certains contrôles sur les normes de Besov, afin de traiter la perturbation non-linéaire.
Dans le prolongement de la première, nous présentons également les estimées de Schauder pour un opérateur dégénéré d'Ornstein-Uhlenbeck associé à une classe plus large d'opérateurs de type stable, comme l'opérateur stable relativiste ou de Lamperti. La preuve de ce résultat repose plutôt sur une analyse précise du comportement du semi-groupe de Markov correspondante entre les espaces de Hölder anisotropes et quelques techniques d'interpolation.
En exploitant une approche parametrix rétrograde, la deuxième partie de cette thèse cherche à établir le caractère bien-posé au sens faible d'une chaîne dégénérée de EDS dirigées par la même classe de processus de type stable, sous des hypothèses de régularité de Hölder minimale sur les coefficients. Comme corollaire de notre méthode, nous présentons également des estimations de type Krylov d'intérêt indépendant pour le processus canonique sous-jacent. Enfin, nous soulignons à travers des contre-exemples appropriés qu'il existe bien un seuil (presque) optimal sur les exposants de régularité assurant le caractère faiblement bien posé pour l'EDS.
En lien avec quelques applications mécaniques pour des dynamiques cinétique avec frottement, nous concluons en étudiant la stabilité des perturbations du second ordre pour des opérateurs de Kolmogorov dégénérés en normes Lp et Hölder.
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