Weak regularization by degenerate Lévy noise and its applications
Régularisation faible par un bruit de Lévy dégénéré et applications
Résumé
After a general introduction about the regularization by noise phenomenon in the degenerate setting, the first part of this thesis focuses at establishing the Schauder estimates, a useful analytical tool to prove also the well-posedness of stochastic differential equations (SDEs), for two different classes of Kolmogorov equations under a weak Hörmander-like condition, whose coefficients lie in suitable anisotropic Hölder spaces with multi-indices of regularity.The first model considers a nonlinear system controlled by a symmetric ⍺-stable operator acting only on some components. Our method of proof relies on a perturbative approach based on forward parametrix expansions through Duhamel-type formulas. Due to the low regularising properties given by the degenerate setting, we also exploit some controls on Besov norms, in order to deal with the non-linear perturbation.As an extension of the first one, we also present Schauder estimates associated with a degenerate Ornstein-Uhlenbeck operator driven by a larger class of ⍺-stable-like operators, like the relativistic or the Lamperti stable one. The proof of this result relies instead on a precise analysis of the behaviour of the associated Markov semi-group between anisotropic Hölder spaces and some interpolation techniques.Exploiting a backward parametrix approach, the second part of this thesis aims at establishing the well-posedness in a weak sense of a degenerate chain of SDEs driven by the same class of ⍺-stable-like processes, under the assumptions of the minimal Hölder regularity on the coefficients. As a by-product of our method, we also presentKrylov-type estimates of independent interest for the associated canonical process.Finally, we emphasise through suitable counter-examples that there exists indeed an (almost) sharp threshold on the regularity exponents ensuring the weak well-posedness for the SDE.In connection with some mechanical applications for kinetic dynamics with friction, we conclude by investigating the stability of second-order perturbations for degenerate Kolmogorov operators in Lp and Hölder norms.
Après une introduction générale sur le phénomène de régularisation par le bruit dans le cadre dégénéré, la première partie de cette thèse se concentre à estimer des estimées de Schauder, un outil analytique utile pour obtenir le caractère bien posé des équations différentielles stochastiques (EDS),pour deux différents classes d'équations de Kolmogorov sous une condition de type Hörmander faible, dont les coefficients appartiennent à des espaces de Hölder anisotropes appropriés avec des multi-indices de régularité.La première classe considère un système non linéaire contrôlé par un opérateur ⍺-stable symétrique agissant uniquement sur certaines composantes. Notre méthode de preuve repose sur une approche perturbative basée sur des développements de parametrix forward par des formules de type Duhamel. En raison des faibles propriétés de régularisation données par le cadre dégénéré, nous exploitons également certains contrôles sur les normes de Besov, afin de traiter la perturbation non-linéaire.Dans le prolongement de la première, nous obtenons également les estimées de Schauder pour un opérateur dégénéré d'Ornstein-Uhlenbeck associé à une classe plus large d'opérateurs de type ⍺-stable, comme l'opérateur stable relativiste ou de Lamperti.La preuve de ce résultat repose sur une analyse précise du comportement du semi-groupe de Markov correspondante entre les espaces de Hölder anisotropes et certaines techniques d'interpolation.En exploitant une approche parametrix backward, la deuxième partie de cette thèse vise à établir le caractère bien-posé au sens faible d'une chaîne dégénérée de EDS entraînés par la même classe de processus de type ⍺-stable, sous des hypothèses de régularité de Hölder minimale sur les coefficients.Nous obtenons, comme corollaire de notre méthode, des estimations de type Krylov d'intérêt indépendant sur le processus canonique sous-jacent.Enfin, nous mettons en évidence, à l’aide de contre-exemples appropriés, qu'il existe un seuil (presque) optimal sur les exposants de régularité pour garantir le caractère bien posé de l’EDS.En lien avec quelques applications mécaniques pour des dynamiques cinétique avec frottement,nous concluons en étudiant la stabilité des perturbations du second ordre pour des opérateurs de Kolmogorov dégénérés en normes Lp et Hölder.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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