Error analysis for finite element methods of the elliptic Monge-Ampère equation and the coupled stationary problem Navier-Stokes / Darcy
Analyses d'erreur pour des méthodes d'éléments finis de l'équation elliptique de Monge-Ampère et du problème couplé Stationnaire Navier-Stokes/Darcy
Résumé
Abstract
This work concerns a priori error analysis for a method of mixed finite elements of the elliptic equation of Monge-Ampère and a a posteriori error analysis for a mixed finite element method of the stationary coupled problem Navier-Stokes / Darcy. Initially
time, we considered: Monge-Ampère problem For this problem we followed the following steps:
1. We have written a weak mixed formulation.
2. This weak problem is approached by a discrete problem whose spaces are constructed using mixed finite linear elements.
The existence of a solution for the discrete problem is obtained using
of the Brouwer fixed point theorem. The finite element method is that of the reconstructed gradient. This method is detailed in the thesis.
3. To prove the convergence of the method, we established a increase in error a priori between the solution of the continuous problem and that of the discrete problem.
4. An elliptical regularity result is established which served in the increase a priori error.
In the second step, we considered: Coupled problem stationary Navier-Stokes / Darcy For this problem we have adopted an approach analogous to that of previous problem.
1. At first, we wrote a weak mixed formulation of the continuous problem.
2. For this problem, we have proposed a discretization in accordance with
using mixed finite elements : that of Bernardi-Raugel and Raviart-Thomas for speed and piecewise constant functions for
pressure.
3. For the posterior error analysis, we built new error indicators. We have proven that this family of indicators
error is reliable and efficient.
Résumé en français
Ce travail porte sur une analyse d’erreur a priori pour une méthode d’éléments finis mixtes de l’équation elliptique de Monge-Ampère et une
analyse d’erreur a posteriori pour une méthode d’éléments finis mixtes du problème couplé stationnaire Navier-Stokes/Darcy. Dans un premier
temps, nous avons considéré : Problème de Monge-Ampère. Pour ce problème nous avons suivi les étapes suivantes :
1. Nous avons écrit une formulation faible mixte.
2. Ce problème faible est approché par un problème discret dont les
espaces sont construits à l’aide d’éléments finis mixtes linéaire.
L’existence de solution pour le problème discret s’obtient à l’aide du théorème du point fixe de Brouwer. La méthode d’éléments finis
est celle du gradient reconstruit. Cette méthode est détaillée dans la thèse.
3. Pour prouver la convergence de la méthode, nous avons établi une
majoration d’erreur a priori entre la solution du problème continu et celle du problème discret.
4. Un résultat de régularité elliptique est établi qui a servi dans la majoration
d’erreur a priori. Et dans un deuxième temps, nous avons considéré : Problème couplé stationnaire Navier-Stokes/Darcy
Pour ce problème nous avons adopté une démarche analogue à celle du problème précédent.
1. Dans un premier temps, nous avons écrit une formulation faible mixte
du problème continu.
2. Pour ce problème, nous avons proposé une discrétisation conforme à
l’aide d’éléments finis mixtes : celui de Bernardi-Raugel et Raviart- Thomas pour la vitesse et les fonctions constantes par morceaux pour
la pression.
3. Pour l’analyse d’erreur a posteriori, nous avons construit de nouveaux
indicateurs d’erreur. Nous avons prouvé que cette famille d’indicateurs
d’erreur est fiable et efficace.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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