Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4
Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4
Abstract
This thesis is concerned with the arithmetic of surfaces endowed with a
pencil of curves of genus $1$, of del Pezzo surfaces of degree $4$, and of
intersections of two quadrics in $\mathbf{P}^n_k$. In the first two
chapters, we develop the technique introduced by Swinnerton-Dyer in 1993,
and refined by Colliot-Thélène, Skorobogatov and Swinnerton-Dyer in 1998,
for studying rational points on surfaces endowed with a pencil of curves of
genus $1$. The third chapter, which builds upon the second one, is devoted
to del Pezzo surfaces of degree $4$ and intersections of two quadrics in
$\mathbf{P}^n_k$. Let $k$ be a number field and $X$ be a smooth
intersection of two quadrics in $\mathbf{P}^n_k$. The Hasse principle is
said to hold for $X$ if the existence of a $k_v$-point on $X$ for every
place $v$ of $k$ is enough to imply the existence of a $k$-point on $X$.
Colliot-Thélène and Sansuc conjectured that
(i) the Hasse principle holds for $X$ if $n\geq 5$;
(ii) the Hasse principle holds for $X$ if $n=4$ and $\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(k)=0$.
The goal of the third chapter is to establish conjecture (i) as well as a
large part of conjecture (ii), assuming Schinzel's hypothesis and the
finiteness of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves over number
fields.
Cette thèse porte sur l'arithmétique des surfaces munies d'un pinceau de
courbes de genre $1$, des surfaces de del Pezzo de degré $4$ et des
intersections de deux quadriques dans $\mathbf{P}^n_k$. Dans les deux
premiers chapitres, nous développons la technique introduite par
Swinnerton-Dyer en 1993 et raffinée par Colliot-Thélène, Skorobogatov et
Swinnerton-Dyer en 1998 permettant d'étudier les points rationnels des
surfaces munies d'un pinceau de courbes de genre $1$. Le troisième
chapitre, qui repose sur le second, est consacré aux surfaces de del Pezzo
de degré $4$ et aux intersections de deux quadriques dans $\mathbf{P}^n_k$.
Soient $k$ un corps de nombres et $X$ une intersection lisse de deux
quadriques dans $\mathbf{P}^n_k$. On dit que $X$ satisfait au principe de
Hasse si l'existence d'un $k_v$-point de $X$ pour toute place $v$ de $k$
suffit à assurer l'existence d'un $k$-point de $X$. Colliot-Thélène et
Sansuc ont conjecturé que
(i) $X$ satisfait au principe de Hasse si $n\geq 5$;
(ii) $X$ satisfait au principe de Hasse si $n=4$ et $\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(k)=0$.
Le but du troisième chapitre est de démontrer la conjecture (i), ainsi
qu'une grande partie de la conjecture (ii), en admettant l'hypothèse de
Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des courbes
elliptiques sur les corps de nombres.
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