On the security of short McEliece keys from algebraic and algebraic geometry codes with automorphisms
Étude de la sécurité de certaines clés compactes pour le schéma de McEliece utilisant des codes géométriques
Résumé
In 1978, McEliece introduce a new public key encryption scheme coming from errors correcting codes theory. The idea is to use an error correcting code whose
structure would be hidden, making it impossible to decode a message for
anyone who do not know a specific decoding algorithm for the chosen code.
The McEliece scheme has some advantages, encryption and decryption are very
fast and it is a good candidate for public-key cryptography in the context of
quantum computer. The main constraint is that the public key is too large
compared to other actual public-key cryptosystems. In this context, we propose to study the using of some quasi-cyclic or quasi-dyadic codes.
In this thesis, the two families of interest are: the family of alternant codes and the family of subfield subcode of algebraic geometry codes. We can construct
quasi-cyclic alternant codes using an automorphism which acts on the support and the multiplier of the code. In order to estimate the securtiy of these QC codes we study the {\em invariant code}. This invariant code is a smaller code derived from the public key. Actually the invariant code is exactly the subcode of codewords fixed by the automorphism $\sigma$. We show that it is possible to
reduce the key-recovery problem on the original quasi-cyclic code to the same problem on the invariant code. This is also true in the case of QC algebraic geometry codes. This result permits us to propose a security analysis of QC codes coming from the Hermitian curve. Moreover, we propose compact key for the McEliece scheme using subfield subcode of AG codes on the Hermitian curve.
The case of quasi-dyadic alternant code is also studied. Using the invariant code, with the {\em Schur product} and the {\em conductor} of two codes, we show weaknesses on the scheme using QD alternant codes with extension degree 2. In the case of the submission DAGS, proposed in the context of NIST competition, an attack exploiting these weakness permits to recover the
secret key in few minutes for some proposed parameters.
En 1978, McEliece introduit un schéma de chiffrement
à clé publique issu de la théorie des codes correcteurs d’erreurs.
L’idée du schéma de McEliece est d’utiliser un code correcteur dont la
structure est masquée, rendant le décodage de ce code difficile pour
toute personne ne connaissant pas cette structure. Le principal défaut
de ce schéma est la taille de la clé publique. Dans ce contexte, on se
propose d'étudier l'utilisation de codes dont on connaît une
représentation compacte, en particulier le cas de codes quais-cyclique
ou quasi-dyadique.
Les deux familles de codes qui nous intéressent dans cette thèse sont:
la famille des codes alternants et celle des sous--codes sur un
sous--corps de codes géométriques. En faisant agir un automorphisme
$\sigma$ sur le support et le multiplier des codes alternants, on sait
qu'il est possible de construire des codes alternants quasi-cycliques.
On se propose alors d'estimer la sécurité de tels codes à l'aide du
\textit{code invariant}. Ce sous--code du code public est constitué des
mots du code strictement invariant par l'automorphisme $\sigma$.
On montre ici que la
sécurité des codes alternants quasi-cyclique se réduit à la sécurité du
code invariant. Cela est aussi valable pour les sous--codes
sur un sous--corps de codes géométriques quasi-cycliques. Ce résultat
nous permet de proposer une analyse de la sécurité de codes
quasi-cycliques construit sur la courbe Hermitienne. En utilisant cette
analyse nous proposons des clés compactes pour la schéma de McEliece
utilisant des sous-codes sur un sous-corps de codes géométriques
construits sur la courbe Hermitienne.
Le cas des codes alternants quasi-dyadiques est aussi en partie étudié.
En utilisant le code invariant, ainsi que le \textit{produit de Schur}
et le \textit{conducteur} de deux codes, nous avons pu mettre en
évidence une attaque sur le schéma de McEliece utilisant des codes
alternants quasi-dyadique de degré $2$. Cette attaque s'applique
notamment au schéma proposé dans la soumission DAGS, proposé dans le
contexte de l'appel du NIST pour la cryptographie post-quantique.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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