Criticality, identification and vertex deletion games on graphs
Criticalité, identification et jeux de suppression de sommets dans les graphes
Résumé
In this thesis, we study both graphs and combinatorial games. There are several links between those two domains: games are useful for modeling an opponent in optimization problems on graphs, and in the other direction several classical games are played on graphs. We will study two graph problems and adapt some classical combinatorial games to be played on graphs.
In a first chapter, we study a criticality problem. A graph that verifies some property, and such that any modification (vertex or edge addition or deletion) breaks the property is called critical for this property. We focus on the critical graphs for the property "having diameter 2", called D2C graphs. The Murty-Simon conjecture gives an upper bound on the number of edges in a D2C graph with a given number of vertices. However, recent research suggests that this bound can be improved for non-bipartite D2C graphs. We show the validity of this approach by proving a smaller upper bound for a subfamily of non-bipartite D2C graphs.
In a second chapter, we consider an identification problem. Identification consists in assigning some data to every edge or vertex of a graph, such that this assignment induces a label to every vertex with the added condition that two distinct vertices must have a different label. We define an edge-coloring using sets of integers inducing an identification of the vertices, and prove that this coloring requires at most a logarithmic number of integers (with respect to the order of the graph) in order to successfully identify the vertices. This result is compared with other identifying colorings, for which the number of colors required to successfully identify the vertices can be linear with respect to the order of the graph.
In order to show the link between graphs and games, we adapt a well-known family of games to be played on graphs. We propose a general framework for the study of many vertex deletion games (which are games in which the players delete vertices from a graph under predefined rules) such as Arc-Kayles. This framework is a generalization of subtraction and octal games on graphs. In their classical definition, those games exhibit a high regularity: all finite subtraction games are ultimately periodic, and Guy conjectured that this is also true for all finite octal games.
We specifically study the connected subtraction games CSG(S) (with S being a finite set). In those games, the players can remove k vertices from a graph if and only if they induce a connected subgraph, the graph remains connected after their deletion, and k is in S. We prove that those games are all ultimately periodic, in the sense that for a given graph and vertex, a path attached to this vertex can be reduced (after a certain preperiod) without changing the Grundy value of the graph for the game. We also prove pure periodicity results, mostly on subdivided stars: for some sets S, the paths of a subdivided star can be reduced to their length modulo a certain period without changing the outcome of the game.
Finally, we define a weighted version of Arc-Kayles, called Weighted Arc-Kayles (WAK for short). In this game, the players select an edge and reduce the weight of its endpoints. Vertices with weight 0 are removed from the graph. We show a reduction between WAK and Arc-Kayles, then we prove that the Grundy values of WAK are unbounded, which answers an open question on Arc-Kayles. We also prove that the Grundy values of WAK are ultimately periodic if we fix all but one of the weights in the graph.
Dans cette thèse, nous étudions des problématiques de graphes et de jeux combinatoires. Il existe de nombreux liens entre ces deux domaines : ainsi, les jeux sont un bon moyen de modéliser une opposition dans un problème d'optimisation, et dans l'autre sens plusieurs jeux classiques sont définis sur les graphes. Nous allons étudier deux problèmes de graphes et adapter des jeux combinatoires classiques pour y jouer sur des graphes.
Dans un premier temps, nous étudions un problème de criticalité. Un graphe qui vérifie une certaine propriété, mais tel qu'une simple modification (ajout ou suppression d'arête ou de sommet) la lui fait perdre est appelé critique pour cette propriété. Nous nous intéressons au problème des graphes critiques pour la propriété « avoir un diamètre égal à 2 », appelés graphes D2C. La conjecture de Murty-Simon donne une borne supérieure sur le nombre d'arêtes d'un graphe D2C en fonction de son nombre de sommets. Or, des recherches récentes laissent supposer que cette borne peut être améliorée pour les graphes D2C non-bipartis. Nous démontrons donc une borne amoindrie pour une sous-famille de graphes D2C.
Dans un deuxième temps, nous considérons un problème d'identification, laquelle consiste à assigner une étiquette à toutes les arêtes ou à tous les sommets d'un graphe, cette assignation devant engendrer une étiquette différente pour chaque sommet. Nous définissons une coloration d'arêtes par des ensembles d'entiers induisant une identification des sommets, et démontrons que cette coloration nécessite au plus un nombre logarithmique d'entiers par rapport à l'ordre du graphe pour l'identifier. Ce résultat est mis en comparaison avec d'autres types de colorations identifiantes, qui nécessitent dans le pire des cas un nombre linéaire d'entiers pour identifier tous les sommets.
Dans un troisième temps, nous étudions des jeux de suppression de sommets, qui sont des jeux dans lesquels deux joueurs suppriment d'un graphe des sommets en respectant certaines règles prédéfinies, le premier joueur incapable de jouer perdant la partie. Nous proposons un cadre global pour l'étude de nombreux jeux de suppression de sommets dans les graphes, qui inclut plusieurs jeux classiques comme Arc-Kayles et permet une généralisation des jeux de soustraction et des jeux octaux sur les graphes. Dans leur définition classique, ces jeux ont généralement des comportements réguliers : tous les jeux de soustraction finis sont ultimement périodiques et il est conjecturé que c’est également le cas des jeux octaux.
Nous étudions plus spécifiquement les jeux de soustraction connexes CSG(S), dans lesquels les joueurs peuvent supprimer k sommets induisant un sous-graphe connexe sans déconnecter le graphe si k est dans S (avec S fini). Nous démontrons que tous ces jeux sont ultimement périodiques, dans le sens où pour un graphe et un sommet donnés, un chemin attaché à ce sommet peut être réduit à partir d'un certain rang sans modifier la valeur de Grundy du graphe pour le jeu. Nous trouvons également des résultats de périodicité pure, en particulier sur les étoiles subdivisées : pour certains ensembles S, les chemins des étoiles peuvent être réduits à leur longueur modulo une certaine période sans changer l'issue du jeu.
Enfin, nous définissons une variante pondérée de Arc-Kayles, appelée Weighted Arc-Kayles (ou WAK), dans laquelle les joueurs doivent sélectionner une arête pour réduire le poids de ses extrémités, les sommets ayant un poids nul étant supprimés du graphe. Nous montrons une réduction entre WAK et Arc-Kayles, puis que les valeurs de Grundy de WAK sont non-bornées, ce qui répond à une question ouverte sur Arc-Kayles. Nous montrons également que les valeurs de Grundy de WAK sont ultimement périodiques lorsque tous les poids du graphe sauf un sont fixés.
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