Spectrum of p-adic differential equations - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2018

Spectrum of p-adic differential equations

Spectre d'équations différentielles p-adiques

Résumé

Differential equations constitute an important tool for the investigation of algebraic and analytic varieties, over the complex and the p-adic numbers. In the p-adic setting, they present phenomena that do not appear in the complex case. Indeed, the radius of convergence of the solutions of a linear differential equation may be finite, even without presence of poles. The knowledge of that radius permits to obtain several interesting informations about the equation. More precisely, since the works of F. Baldassarri, we know how to associate a radius of convergence to all points of a p-adic curve in the sense of Berko- vich endowed with a connection. Recent works of F. Baldassarri, K.S. Kedlaya, J. Poi- neau, and A. Pulita have proved that this radius behaves in a very controlled way. The radius of convergence can be refined using subsidiary radii, that are known to have similar properties. In order to push forward the study, we introduce a geometric object that refines also this radius, the spectrum in the sense of Berkovich of a differential equation. In the present thesis, we define the spectrum of a differential equation and provide its first properties. We also compute the spectra of some classes of differential modules: differential modules of a differential équation with constant coefficients, singular regu- lar differential modules and at last differential modules over the field of Laurent power series.
Les équations différentielles constituent un important outil pour l’étude des variétés algébriques et analytiques, sur les nombres complexes et p-adiques. Dans le cas p-adique, elles présentent des phénomènes qui n’apparaissent pas dans le cas complexe. En effet, le rayon de convergence des solutions d’une équation différentielle linéaire peut être fini, et cela même en l’absence de pôles. La connaissance de ce rayon permet d’obtenir de nombreuses informations inter- essantes sur l’équation. Plus précisément, depuis les travaux de F. Baldassarri, on sait associer un rayon de convergence a tout point d’une courbe p-adique au sens de Ber- kovich munie d’une connexion. Des travaux récents de F. Baldassarri, K. Kedlaya, J. Poineau et A. Pulita ont révélé que ce rayon se comporte de manière très contrainte. Afin de pousser l’étude, on introduit un objet géométrique qui raffine aussi ce rayon, le spectre au sens de Berkovich d’une équation différentielle. Dans ce mémoire de thèse, nous définissons le spectre d’un module différentiel et donnons ses premières propriétés. Nous calculons aussi les spectres de quelques classes de modules différentiels: modules différentiels d’une équations différentielles à coefficients constants, modules différentiels singuliers réguliers et enfin modules dif- férentiels sur un corps de séries de Laurent.
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Dates et versions

tel-01853794 , version 1 (04-08-2018)
tel-01853794 , version 2 (08-04-2019)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01853794 , version 1

Citer

Tinhinane Amina Azzouz. Spectrum of p-adic differential equations. Number Theory [math.NT]. Université de Montpellier, 2018. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01853794v1⟩

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