An intrinsic approach of Weil functors
Une approche intrinsèque des foncteurs de Weil
Résumé
We construct a functor from the category of manifolds over a general topological base
field or ring K, of arbitrary characteristic, to the category of manifolds over A, where A is a
so-called Weil algebra, i.e. a K-algebra of the form A = K ⊕ N, where N is a nilpotent ideal.
The corresponding functor, denoted by T^A , and called a Weil functor, can be interpreted as a
functor of scalar extension from K to A. It is constructed by using Taylor polynomials, which
we define in arbitrary characteristic.
This result generalizes simultaneously results known for ordinary, real manifolds, and re-
sults for iterated tangent functors and for jet rings A = K[X]/(X^(k+1). We show that for
any manifold M, T^A M is a polynomial bundle over M, and we investigate some algebraic
aspects of the Weil functors, in particular those related to the action of the “Galois group”
Aut_K (A). We study connections, which are an important tool for the analysis of fiber bundles,
in two different contexts : connections on the Weil bundles T^A M, and connections on general
bundles over M, following Ehresmann’s approach. The curvature operators are induced by the
action of the Galois group Aut_K (A) and they form an obstruction to the “integrability” of a
K-smooth connection to an A-smooth one.
Nous construisons un foncteur de la catégorie des variétés sur un corps ou un anneau
topologique K, de caractéristique arbitraire, dans la catégorie des variétés sur A, où A est une
algèbre de Weil, c’est-à-dire une K-algèbre de la forme A = K⊕N, où N est un idéal nilpotent.
Le foncteur correspondant, noté T^A , et appelé foncteur de Weil, peut être interprété comme
un foncteur d’extension scalaire de K à A. Il est construit à l’aide des polynômes de Taylor,
dont nous donnons une définition en caractéristique quelconque.
Ce résultat généralise à la fois des résultats connus pour les variétés réelles ordinaires,
et les résultats obtenus dans le cas des foncteurs tangents itérés et dans le cas des anneaux
de jets A = K[X]/(X^(k+1). Nous montrons que pour toute variété M, T^A M possède une
structure de fibré polynomial sur M, et nous considérons certains aspects algébriques des
foncteurs de Weil, notamment ceux liés à l’action du « groupe de Galois » Aut_K (A). Nous
étudions les connexions, qui sont un outil important d’analyse des fibrés, dans deux contextes
différents : d’une part sur les fibrés T^A M, et d’autre part sur des fibrés généraux sur M, en
suivant l’approche d’Ehresmann. Les opérateurs de courbure d’une connexion sont induits par
l’action du groupe de Galois Aut_K (A) et ils forment une obstruction à l’« intégrabilité » d’une
connexion K-lisse en une connexion A-lisse.
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